Das Ziegenproblem


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3.1    Die Originalvariante

Vor einigen Jahren lief im amerikanischen Fernsehen eine Spielshow mit etwa folgenden Ablauf:

  • Ein Kandidat steht vor drei verschlossenen Türen. Hinter einer Tür steht der vom Kandidaten erstrebte Gewinn, ein Auto, hinter den beiden anderen Türen je eine Ziege. Der Moderator bittet den Kandidaten, eine Tür zu auswählen, was dieser in Erwartung des Preises gerne tut. Die gewählte Tür bleibt aber vorerst geschlossen. Nun zeigt der Moderator, der weiß, hinter welcher Tür sich das Auto befindet, mit den Worten „Ich zeig` Ihnen `mal `was“ auf eine andere Tür und öffnet sie. Dahinter steht eine Ziege. Es gibt nun nur noch zwei verschlossene Türen, die vom Kandidaten gewählte und eine weitere. Dem Kandidaten wird nunmehr die entscheidende Frage gestellt: „Bleiben Sie bei Ihrer Wahl oder möchten Sie doch lieber zur anderen Tür wechseln?“

Die Entscheidungssituation des Kandidaten ist einigermaßen klar: es gibt zwei verschlossene Türen, hinter einer Tür steht eine Ziege, hinter der anderen ein Auto. Offenbar ist die Chance, den Gewinn zu bekommen bei beiden Türen gleich. Warum also wechseln? Dafür scheint es keinen Grund zu geben. Ein Trugschluss! Kandidaten, die wechseln, haben doppelt so hohe Gewinnchancen.

Schauen wie uns die Sache einmal genauer an. Es gibt drei Türen, aber nur einen Gewinn. Die Chance, mit der ersten Auswahl auf die Tür mit dem Auto zu tippen ist daher $ \frac {1}{3} $. Das ist folglich auch die Gewinnchance des Kandidaten, wenn er bei seiner ursprünglich gewählten Tür bleibt. Dagegen befindet sich der Hauptgewinn mit der Wahrscheinlichkeit $ \frac {2}{3} $ hinter einer der beiden Türen, die der Kandidat nicht gewählt hat. Der Moderator öffnet nun aber mit Sicherheit eine Tür mit einer Ziege. Deswegen ist das Auto mit der Chance $ \frac {2}{3} $ hinter der anderen Tür. Wechselt daher der Kandidat, so vergrößert er damit seine Gewinnchance von $ \frac {1}{3} $ auf $ \frac {2}{3} $.

Eigentlich ist damit alles gesagt. Indessen, wer mit Wahrscheinlichkeiten nicht täglichen Umgang pflegt, ist erfahrungsgemäß von dieser Argumentation noch nicht überzeugt. In seinem Büchlein „Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten“ sah sich Gero von Randow, seines Zeichens Journalist und Mitarbeiter DER ZEIT, gar veranlasst, die Beweisführung schier endlos zu variieren. Um die oben dargelegte ebenso kurze wie prägnante Begründung machte er indessen einen weiten Bogen. Vielleicht erschien sie im zu einfach, um wahr zu sein. Zu seiner Ehrenrettung muss man derweil anerkennen, dass sich zu Beginn der neunziger Jahre des letzten Jahrhunderts in der Denksportszene tatsächlich ein teilweise unsachlicher Disput zu dem seither so genannten „Ziegenproblem“ entzündet hatte, der rationaler Beilegung dringend bedurfte.

In diesem Sinne wollen wir daher eine einfachere Argumentationskette aufbauen und dabei möglichst wenig Wissen über Wahrscheinlichkeitsrechnung voraussetzen. Vielfach haben Menschen auch Schwierigkeiten, Symmetrien zu erkennen und Fälle zu verallgemeinern. Daher betrachten wir die Auswahlsituation im Folgenden weitgehend ohne symbolische Bezeichnungen und ohne vorschnelle Symmetrieüberlegungen. Zunächst benötigen wir eine Möglichkeit, die Problemstellung in der Spielshow überhaupt zu beschreiben. Dazu notieren wir einfach AZZ, wenn sich das Auto hinter der linken Tür befindet (und die Ziegen hinter der mittleren und der rechten Tür), ZAZ, wenn das Auto hinter der mittleren Tür steht, sowie ZZA, wenn der Gewinn hinter der rechten Tür ist.

Insgesamt haben wir also die folgenden drei Fälle:

  1. AZZ
  2. ZAZ
  3. ZZA

Mehr Möglichkeiten gibt es zunächst nicht. Nun müssen wir die Erstauswahl des Kandidaten kennzeichnen. Dazu können wir einfach den an der betreffenden Stelle stehenden Buchstaben unterstreichen. Z. B. meint dann die Zeichenfolge ZAZ, dass der Kandidat die linke Tür gewählt hat. Offenbar eine Ziege (von diesem Pech weiß er zu diesem Zeitpunkt aber noch nichts). Die möglichen neun Fälle bis zur Erstauswahl des Kandidaten sind in Tabelle 3‑1 aufgelistet.

1 AZZ
2 ZAZ
3 ZZA
4 AZZ
5 ZAZ
6 ZZA
7 AZZ
8 ZAZ
9 ZZA

Tabelle 3‑1

Alle neun Fälle sind gleichwahrscheinlich. Mit der Wahrscheinlichkeit $ \frac {1}{9} $ wird also genau einer der aufgelisteten neun Verläufe realisiert.

Die daraufhin vom Moderator geöffnete Tür notieren wir durch einen kleinen Buchstaben an der nämlichen Stelle. Also etwa ZAz, wenn der Moderator die rechte Tür öffnet. Nun sind wir in der Lage, uns einen kompletten Überblick über alle denkbaren Fälle zu verschaffen. Man macht sich leicht klar, dass es bis hierher überhaupt nur die folgenden Ablaufmöglichkeiten in der Spielshow gibt (s. Tabelle 3‑2).

1 AzZ 1.1 AzZ \( 1/18 \)
AZz 1.2 AZz \( 1/18 \)
2 ZAz 2 ZAz \( 1/9 \)
3 ZzA 3 ZzA \( 1/9 \)
4 AZz 4 AZz \( 1/9 \)
5 zAZ 5.1 zAZ \( 1/18 \)
ZAz 5.2 ZAz \( 1/18 \)
6 zZA 6 zZA \( 1/9 \)
7 AzZ 7 AzZ \( 1/9 \)
8 zAZ 8 zAZ \( 1/9 \)
9 zZA 9.1 zZA \( 1/18 \)
ZzA 9.2 ZzA \( 1/18 \)

Tabelle 3‑2

Wenn die in den Zeilen 1, 5 und 9 notierten Fälle auftreten, hat der Moderator offensichtlich zwei Möglichkeiten zum Öffnen einer Ziegentür, weil in diesen Situationen der Kandidat mit seiner Erstauswahl zufälligerweise auf die Tür mit dem Hauptgewinn getippt hatte. Ändert dies etwas an der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der drei zugrunde liegenden Ereignisse AZZ, ZAZ oder ZZA? Natürlich nicht! Nach wie vor treten diese Situationen genau wie die anderen Ereignisse mit der Chance $ \frac {1}{9} $ ein. Durch den Freiheitsgrad des Moderators spalten sich die genannten drei Fälle vielmehr in zwei untereinander gleichwahrscheinliche Fälle auf. Das heißt, die Spielshow nimmt bis zur Frage des Moderators: „Bleiben Sie bei Ihrer Wahl oder möchten Sie doch lieber zur anderen Tür wechseln?“ mit der Wahrscheinlichkeit von jeweils $ \frac {1}{9} $ genau einen der aufgelisteten sechs Verläufe nach den Zeilen 2, 3, 4, 6, 7, 8 der Tabelle und mit der Wahrscheinlichkeit von jeweils $ \frac {1}{18} $ einen der sechs Verläufe nach den Zeilen 1.1, 1.2, 5.1, 5.2, 9.1, 9.2.

Was passiert nun, wenn der Kandidat bei seiner ersten Türauswahl bleibt? Er hat doch nur dann die richtige Wahl getroffen, wenn die den Zeilen 1.1, 1.2, 5.1, 5.2, 9.1, 9.2 entsprechenden Fälle vorliegen. Seine Gewinnchance ist daher $ \frac {6}{18} = \frac {1}{3} $ (s. Tabelle 3‑3). Machen wir die Gegenprobe. Was geschieht, wenn der Kandidat die Tür wechselt? Tabelle 3‑3 entnimmt man, ferner, dass dies für ihn von Vorteil ist, wenn die Situationen gemäß den Zeilen 2, 3, 4, 6, 7, 8 auftreten. Nachdem diesen Fällen jeweils die Realisierungschance $ \frac {1}{9} $ zukommt, ist seine Gewinnwahrscheinlichkeit bei der Wechselstrategie $ \frac {6}{9} = \frac {2}{3} $.

1.1 AzZ \( 1/18 \) Der Kandidat gewinnt, wenn er bei seiner Auswahl bleibt.
1.2 AZz \( 1/18 \) Der Kandidat gewinnt, wenn er bei seiner Auswahl bleibt.
2 ZAz \( 1/9 \) Der Kandidat gewinnt, wenn er wechselt.
3 ZzA \( 1/9 \) Der Kandidat gewinnt, wenn er wechselt.
4 AZz \( 1/9 \) Der Kandidat gewinnt, wenn er wechselt.
5.1 zAZ \( 1/18 \) Der Kandidat gewinnt, wenn er bei seiner Auswahl bleibt.
5.2 ZAz \( 1/18 \) Der Kandidat gewinnt, wenn er bei seiner Auswahl bleibt.
6 zZA \( 1/9 \) Der Kandidat gewinnt, wenn er wechselt.
7 AzZ \( 1/9 \) Der Kandidat gewinnt, wenn er wechselt.
8 zAZ \( 1/9 \) Der Kandidat gewinnt, wenn er wechselt.
9.1 zZA \( 1/18 \) Der Kandidat gewinnt, wenn er bei seiner Auswahl bleibt.
9.2 ZzA \( 1/18 \) Der Kandidat gewinnt, wenn er bei seiner Auswahl bleibt.

Tabelle 3‑3

Damit sind wir mit der denkbar breitesten Beweisführung am Ende. Entscheidend ist folgendes: nach der Auswahl des Kandidaten öffnet der Moderator mit Sicherheit eine Ziegentür. Er sortiert also eine Niete aus und gibt damit unausgesprochen einen Hinweis auf die Tür, hinter der in zwei von drei Fällen der Hauptgewinn steht: eben die andere, vom Kandidaten ursprünglich nicht gewählte Tür. Viel mehr Zweckdienliches kann man dazu nun wirklich nicht mehr beitragen. Gelegentlich trifft man dennoch auf wunderliche Einwände oder Missverständnisse. Z. B. auf dieses: wenn der Moderator zufällig irgendeine Tür öffnet, dann ist die die Wechselstrategie ebenfalls günstiger. Das ist natürlich Unsinn. Die Wechselstrategie ist doch gerade deswegen von Vorteil, weil der Moderator nicht irgendeine Tür öffnet, sondern garantiert eine Ziegentür aussondert. Die Gewinnchance des Kandidaten ist bei zufälliger Türauswahl durch den Moderator nur $ \frac {1}{3} $, und zwar unabhängig davon, ob der Kandidat nun bei seiner ersten Türauswahl bleibt oder ob er wechselt, denn in einem Drittel aller Fälle öffnet der Moderator zwangsläufig die Tür mit dem Auto. Für den Kandidaten gibt es daher nur noch in zwei von drei Fällen überhaupt etwas zu gewinnen. Der Gewinn befindet sich nur mit $ \frac {2}{3} $ Wahrscheinlichkeit hinter den beiden verschlossenen Türen. Die nicht gewählte Tür verbirgt das Auto folglich nur mit der Chance $ \frac {1}{3} $.

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3.2    Das Ziegenproblem mit mehreren Moderatoren

Eine Zweidrittel-Gewinnchance beim Wechseln der Tür ist nicht schlecht. Kann man diese Chance noch verbessern? Im Allgemeinen nein. Was sieht es aber aus, wenn der der Sender zwei Moderatoren mit der Durchführung des Spiels beauftragt? Nehmen wir an, das Spiel läuft zunächst wie beschrieben.

  • Ein Moderator leitet das Spiel, der zweite befindet sich noch in der Makse, also hinter den Kulissen. Beide Moderatoren wissen, wo der Hauptgewinn verborgen ist. Der Kandidat wählt also eine Tür. Der erste Moderator zeigt auf eine vom Kandidaten nicht gewählte Tür, öffnet sie aber nicht und bemerkt nur: „Hinter dieser Tür steht eine Ziege, das kann ich Ihnen schon ´mal sagen“. Daraufhin kommt der zweite Moderator – der dies nicht mitbekommen hat – auf die Bühne und fragt den Kandidaten: „Na, welche Tür haben Sie denn gewählt?“ Im beglückenden Gefühl, seinem Gewinn ganz nahe zu sein, da ja nun schon eine Ziegentür benannt wurde, deutet der Kandidat erneut auf seine gewählte Tür. Mit den Worten „Dann will ich Ihnen `mal `was zeigen“ weist sodann der zweite Moderator auf eine vom Kandidaten nicht gewählte Tür und öffnet sie. Dahinter steht eine Ziege. Danach stellt der erste Moderator wieder die entscheidende Frage: „Bleiben Sie bei Ihrer Wahl oder möchten Sie doch lieber zur anderen Tür wechseln?“

Die Entscheidungssituation des Kandidaten ist ähnlich wie oben: es gibt zwei verschlossene Türen, hinter einer Tür steht eine Ziege, hinter der anderen ein Auto. Es gibt aber einen wesentlichen Unterschied: die vom ersten Moderator benannte Tür muss nicht zwangsläufig die sein, die der zweite Moderator tatsächlich öffnet. Ist es dennoch die gleiche Tür, so wird der Kandidat durch die Anwesenheit des zweiten Moderators nicht klüger. Der Kandidat befindet sich in der gleichen Situation wie im Ein-Moderat-Spiel. Er kann daher durch Wechseln seine Gewinnchance verdoppeln. Wenn nun aber die beiden Moderatoren auf unterschiedliche Türen zeigen, so weiß der Kandidat bereits mit Sicherheit, wo der Hauptgewinn ist, denn das kann ja offensichtlich nur dann vorkommen, wenn sich das Auto hinter der vom Kandidaten gewählten Tür befindet. Der Kandidat muss demnach eine gemischte Strategie fahren:

  • Auswahl wechseln, wenn beide Moderatoren auf dieselbe Tür zeigen.
  • Trivialerweise bei seiner Wahl bleiben, wenn die Moderatoren auf verschiedene Türen zeigen.

Wie groß ist nun seine Gewinnwahrscheinlichkeit? In $ \frac {2}{3} $ aller Fälle gewinnt er mit der Wechselstrategie (s. Zeilen 2, 3, 4, 6, 7, 8 nach Tabelle 3‑3). In dem verbleibenden Drittel der Möglichkeiten (s. Zeilen 1.1, 1.2, 5.1, 5.2, 9.1, 9.2 nach Tabelle 3‑3). deuten die beiden Moderatoren mit 50%-iger Wahrscheinlichkeit auf zwei verschiedene Türen. Dann weiß der Kandidat mit Sicherheit, dass er bereits die Tür mit dem Auto gewählt hat. Zeigen sie allerdings auf die gleiche Tür, so verspielt er durch Wechseln seinen Gewinn. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Spiel mit zwei Moderatoren ist daher

\begin{align}  \begin{array}{l} {{p}_{2}}&=\frac{2}{3}\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot \left( {\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 0} \right)\\&=\frac{2}{3}+\frac{1}{6} \\&=\frac{5}{6}  \end{array} \end{align}

Nun kann man den Gedanken natürlich fortspinnen und 3, 4, 5 usw. Moderatoren bemühen. Oder etwa sinngemäß das Publikum einschalten. In all diesen Fällen erhöht sich die Gewinnerwartung bei Anwendung der angepassten Wechselstrategie:

  • Auswahl wechseln, wenn alle Moderatoren auf dieselbe Tür zeigen.
  • Trivialerweise bei seiner Wahl bleiben, wenn die Moderatoren auf verschiedene Türen zeigen.

Nun werden $m$ Moderatoren nur mit der Chance $\frac{1}{2^{m-1}}$ unter zwei möglichen Ziegentüren stets auf die gleiche Tür zeigen. Mit der Wahrscheinlichkeit $1-\frac{1}{2^{m-1}}$ sind es daher verschiedene Türen. Allgemein erhält man dergestalt die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Spiel mit $m$ Moderatoren

\begin{align} \begin{array}{l} {{p}_{m}}&=\frac{2}{3}\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot \left[ \left( 1-\frac{1}{2^{m-1}} \right)\cdot 1+\frac{1}{2^{m-1}}\cdot 0 \right]\\&=1-\frac{2}{3}\cdot 2^{-m}\\&=\frac{3\cdot 2^{m-1}-1}{3\cdot 2^{m-1}} \end{array} \end{align}

Für $m=3$ ist die Gewinnchance demnach $ \frac {11}{12} $, bei $m=4$ sogar $ \frac {23}{24} $.

Setzt man in die Formel $m=1$ ein, so erhält man natürlich wieder des Resultat $p_1 = \frac {2}{3} $ für das Originalspiel mit einem Moderator.

Übrigens, Kandidaten die nicht wechseln, müssen sich nach wie vor mit einer Gewinnchance von $ \frac {1}{3} $ bescheiden, weil sie ja von der Zusatzinformation durch mehrere Moderatoren nicht profitieren.

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