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On the characterization of base-p number representations
Summary: We treat number representations with natural bases $p>1$. For this, we show that for prime bases the digits of the representation $\displaystyle {{a}_{m}}{{a}_{{m-1}}}\ldots {{a}_{n}}\ldots {{a}_{1}}{{a}_{0}}$ of a given number $\displaystyle z$ can be characterized by means of certain binomial coefficients. The main result is as follows: provided $\displaystyle {{a}_{n}}$ is the n-th digit of the base-p representation of $\displaystyle z$ then the congruency $\displaystyle \left( {\begin{array}{*{20}{c}} z \\ {{{p}^{n}}} \end{array}} \right)\ \equiv \ {{a}_{n}}\left( {\bmod p} \right)$ holds true. In addition, this statement is proved to be false in the general case of non-prime bases.
Zusammenfassung: Wir betrachten polyadische Zahldarstellungen mit natürlichen Basen $p>1$ und zeigen, dass für Primzahlbasen $\displaystyle p$ die entsprechenden Ziffern $\displaystyle {{a}_{m}}{{a}_{{m-1}}}\ldots {{a}_{n}}\ldots {{a}_{1}}{{a}_{0}}$ mittels bestimmter Binomialkoeffizienten charakterisiert werden können. Für die n-te Ziffer $\displaystyle {{a}_{n}}$ in der Darstellung von $\displaystyle z$ zur Basis $\displaystyle p$ besteht die Kongruenz $\displaystyle \left( {\begin{array}{*{20}{c}} z \\ {{{p}^{n}}} \end{array}} \right)\ \equiv \left\lfloor {\frac{z}{{{{p}^{n}}}}} \right\rfloor \equiv \ {{a}_{n}}\left( {\bmod p} \right)$. Für Nichtprimzahlbasen trifft dies im Allgemeinen nicht zu.
⇒ On the characterization of base-p number representations
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Note on the analytic representation of integer residues
Summary: We consider a general identity regarding the analytic representation of integer remainders modulo p.
Zusammenfassung: Wir betrachten eine allgemeingültige Identität zur analytischen Darstellung ganzzahliger Reste modulo p.