Gronwall-Verfahren

Die nachfolgende Arbeit nimmt Bezug auf das von T. H. Gronwall definierte Verfahren zur Summierung von konvergenten und divergenten unendlichen Reihen auf Basis konformer Abbildungen. Das Summationsverfahren arbeitet mit geeigneten analytischen Funktionen \(f\) und \(g\) mit den folgenden Eigenschaften:

  • \(f\) ist holomorph auf \(\overline{E}\backslash \{1\} \) und stetig in \(1\)
  • \(f\) ist schlicht in \({E}\) und \({f(E)} \subset {E} \)
  • \(f(0)=0\) und \(f(0)=1\)
  • Die Umkehrfunktion von \(f\) ist holomorph auf \(f(\overline{E})\backslash \{1\} \)
  • Es gibt ein \(\lambda \ge 1 \) und eine um den Nullpunkt entwickeltbare Potenzreihe \(\Phi \) mit einem nicht verschwindendem Konvergenzradius, so dass \(\Phi (0) > 0 \) und \( 1-w = {(1-z)^{\lambda}}\Phi (1-z) \) fĂŒr \(z=f(w) \) genĂŒgend nahe bei \(1 \)

Hierbei ist \( E := \{z \in \mathbb{C} \mid \vert{z}\vert <1\} \).

  • \( g(w) = (1-w)^{-\alpha} + \gamma (w) \) mit \( \alpha > 0 \) und \(\gamma\) holomorph auf \(E\).
  • \( g(w) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}{{b_{n}}{w^{n}}}\) mit \(b_{n} \neq 0\) fĂŒr alle \(n \in \mathbb{N^0}\)
  • \( g(w) \neq 0 \) fĂŒr alle \(w \in {E}\)

Nun wird der Reihe \( \sum \limits_{\nu = 0}^{\infty}{u_{\nu}} \) ĂŒber die IdentitĂ€t
\[ \sum\limits_{\nu = 0}^{\infty}{{u_{\nu}}{z^{\nu}}} = \frac{1}{g(w)} \sum\limits_{n = 0}^{\infty}{{b_{n}} {U_{n}}{w^{n}}} \] eine Folge \( \left({U_n}\right) \) zugeordnet.

Die Reihe \( \sum \limits_{\nu = 0}^{\infty}{u_{\nu}} \) heißt \( (f,g) \)-summierbar zur Summe \(s\), wenn \(U_n\rightarrow s\) fĂŒr \(n\rightarrow \infty\).

Entsprechend nennen wir eine Folge \( \left({s_n}\right) \) \( (f,g) \)-limitierbar zum Grenzwert \(s\), wenn eine IdentitÀt \[ (1-z)\sum\limits_{\nu = 0}^{\infty}{{s_{\nu}}{z^{\nu}}} = \frac{1}{g(w)} \sum\limits_{n = 0}^{\infty}{{b_{n}} {U_{n}}{w^{n}}} \]
besteht und \(U_n\rightarrow s\) fĂŒr \(n\rightarrow \infty\).

Wenn wir \(f=\text{id}\), also \(z=f(w)=w\), und \(g(w)=(1-w)^{-1}\) setzen, also \(b_n=1\), so erhalten wir das Gronwall-Verfahren, das im Sinne der letzten IdentitÀt auf
\[ (1-w)\sum\limits_{\nu = 0}^{\infty}{{s_{\nu}}{w^{\nu}}} = (1-w) \sum\limits_{n = 0}^{\infty}{{U_{n}}{w^{n}}} \] hinauslÀuft. Wie man leicht erkennt, ist in diesem Falle \(U_n \equiv s_n\). M. a. W., das Gronwall-Verfahren \(\left({\textrm{id}, (1-w)^{-1}}\right) \) ist konvergenzgleich, d.h., es summiert eine Reihe genbau dann, wenn diese Reihe konvergent ist.

Betrachten wir als weiteres Beispiel das Gronwall-Verfahren \((f,g)\) mit \(f=\text{id}\) (also \(z=w\)) und \(g(w)=(1-w)^{-2}\) und wenden es auf die Reihe \[ \sum \limits_{n = 0}^{\infty}{(-1)^{n}} = 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1\pm\cdots \] oder, was das selbe bedeutet, auf die Folge \[ \begin{align*} s_n &= \left\{\begin{array}{ll} 1, &n=0 \pmod{2} \\ 0, &n=1 \pmod{2} \end{array} \right. \\ &= \frac{1}{2}\left( 1+(-1)^n \right) \end{align*} \] an. NatĂŒrlich ist diese Reihe im klassischen Sinne nicht konvergent, das sieht man ganz einfach daran, dass die Folge der Partialsummen zwei HĂ€ufungspunkte hat, genauer, dass sie unendlich oft die Werte \(0\) und \(1\) annimmt.

Nach dem Obigen haben wir jetzt \[ \sum \limits_{n = 0}^{\infty}{(-1)^{n}z^{n}} = {(1-w)^{2}} \sum\limits_{n = 0}^{\infty}{{({n+1})} {U_{n}}{w^{n}}} \] Wegen \(z=f(w)=w\) folgt daraus

\[ \begin{align*}\sum\limits_{n = 0}^{\infty}{{({n+1})} {U_{n}}{w^{n}}}
&= \frac{1}{(1-w)^{2}} \sum \limits_{n = 0}^{\infty}{(-1)^{n}w^{n}} \\
&= \frac{1}{(1-w)^{2}} \cdot \frac{1}{(1+w)} \\
&= \frac{1}{(1-w)} \cdot \frac{1}{(1-w^2)} \\
&= \left( 1+w^1+w^2+w^3+w^4+\cdots \right) \cdot \left( 1+w^2+w^4+w^6+w^8+\cdots \right) \\
&= \left( 1+w^1+2w^2+2w^3+3w^4+3w^5+4w^5+4w^6+4w^7+5w^8+5w^9+\cdots \right) \\
&= \sum \limits_{n = 0}^{\infty}{\left\lfloor {\frac{n+2}{2}} \right\rfloor w^{n}}\end{align*} \]

Durch Koeffizientenvergeich erhalten wir daraus
\[ \begin{align*} U_n &= \frac{1}{n+1} \left\lfloor {\frac{n+2}{2}} \right\rfloor \\
&= \frac{1}{2} \left\{ \begin{array}{ll} \frac{n+2}{n+1}, &n=0 \pmod{2} \\ 1, &n=1 \pmod{2} \end{array} \right. \end{align*} \]
und damit
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}{U_n} = \frac{1}{2} \]
Im Ergebnis ist also die \( (f, g)\)-Summe von \(\sum \limits_{n = 0}^{\infty}{(-1)^{n}}\) fĂŒr \(f=\textrm{id}\) (also \(z=f(w)=w\)) und \(g(w)=(1-w)^{-2}\) gleich \(\frac{1}{2}\).

Formal:

\[ \left({\textrm{id}, (1-w)^{-2}}\right)-\sum \limits_{n = 0}^{\infty}{(-1)^{n}}=\frac{1}{2} \]

Dieses Gronwall-Verfahren summiert also auch divergente Reihen.

FĂŒr NĂ€heres siehe PDF-Dokument im nachfolgenden Link:

⇒ Gronwall-Verfahren …


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