Lohnt sich der Umweg?

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Eine Frage vor der man gelegentlich steht: Lohnt sich der Umweg? Nehmen wir z.B. die Situation beim Tanken. Wir befinden uns an einer Position \text{S} (Start) und wollen eigentlich auf kürzestem Wege nach \text{Z} (Ziel). Der Tank ist fast leer, wahrscheinlich reicht es aber noch bis ans Ziel. Entlang des Weges gibt es eine Tankstelle T_1, dort kostet der Sprit pro Liter den Betrag k_1. Natürlich gibt es auch andere, längere Wege zum Ziel. In Zeiten des mobilen Internets erfahren wir ganz leicht, dass es in der weiteren Umgebung eine zweite Tankstelle T_2  gibt, dort kostet der Sprit pro Liter den (geringeren) Betrag k_2. Aber: Der Weg von \text{S} nach Z über T_2 ist länger. Daraus erwächst unmittelbar die Frage, ob denn die Gesamtkosten beim Tanken an T_2  tatsächlich um so vieles geringer sind als bei T_1, dass unterm Strich, trotz der zu fahrenden Mehrstrecke, ein Vorteil bleibt?

Zur Klarstellung: Selbstredend ist das alles nur eine theoretische Übung. Wenn man die tatsächlichen Betriebskosten eines Fahrzeugs zugrunde legt, die schon für einen Kompaktwagen mit Basismotorisierung bei 4-jähriger Haltedauer bei mehr als 40 ct/km liegen, dann braucht man mögliche Umwege gar nicht mehr ins Kalkül zu nehmen. Schon kurze Umwegstrecken über 2 – 3 km werden in der Regel alle Kostenvorteile durch billigeren Sprit aufzehren oder gar ins Gegenteil verkehren.

Nichtsdestotrotz: Die Skizze (s. Abbildung 1) zeigt die Zusammenhänge und Bezeichnungen.

Abbildung 1

Natürlich kann man das im konkreten Fall ganz einfach berechnen sofern alle relevanten Daten bekannt sind. Man nimmt die bekannten Preise k_1 und k_2 an den beiden Tankstellen, die in beiden Fällen zu fahrenden Teilstrecken s_1=s_{11}+s_{12} und s_2=s_{21}+s_{22}. Mit dem spezifischen Verbrauch pro Streckeneinheit \rho, z.B. in \text{liter}/{100}\text{km} und der am Startort \text{S} im Tank befindlichen restlichen Spritmenge von M_R erhalten wir für die Gesamtkosten beim Tanken an Tankstelle T_1

(1)   \begin{equation*} \begin{split} K_1 &= \left( M - \left(M_R - \rho \, s_{11}\right)\right)\, k_1 + \rho \, s_{12}\, k_1 \\ &= \left( M - M_R\right)\, k_1 + \rho \, s_{1}\, k_1 \end{split} \end{equation*}

sowie die Gesamtkosten beim Tanken an Tankstelle T_2

(2)   \begin{equation*} \begin{split} K_2 &= \left( M - \left(M_R - \rho \, s_{21}\right)\right)\, k_2 + \rho \, s_{22}\, k_2 \\ &= \left( M - M_R\right)\, k_2 + \rho \, s_{2}\, k_2 \end{split} \end{equation*}

Der Umweg lohnt sich, wenn gilt

(3)   \begin{equation*} K_2 < K_1\end{equation*}

In der Regel kennt man aber die genauen Werte für die in der Rechnung benötigten Variablen nicht. Wie kann man trotzdem zu einer begründeten Entscheidung kommen?

Dazu betrachten wir die Ungleichung genauer und setzen für den Unterschied in der Streckenlänge \Delta{s}=s_{2}-s_{1} (das ist der effektiv zu fahrende Umweg) sowie für die Preisdifferenz \Delta{k}=k_{1}-k_{2} (das sind die Mehrkosten pro Liter an Tankstelle T_1 gegenüber Tankstelle T_2). Wir erhalten nun die abgeleitete Bedingung

(4)   \begin{equation*} \left( M - M_R\right)\, k_2 + \rho \, s_{2}\, k_2 < \left( M - M_R\right)\, k_1 + \rho \, s_{1}\, k_1\end{equation*}

woraus weiter folgt

(5)   \begin{equation*} \begin{split} \rho \left(s_{2}\, k_2 - s_{1}\, k_1\right) &< \left( M - M_R\right)\left(k_1 - k_2\right) \\ \LARGE{\Rightarrow} \quad \rho \left(s_{2} \left(k_1 - \Delta{k}\right) - s_{1}\, k_1\right) &< \left( M - M_R\right) \, \Delta{k} \\ \LARGE{\Rightarrow} \quad \rho \left(s_{2} - s_{1}\right) \, k_1 - \rho\,s_{2}\Delta{k} &< \left( M - M_R\right) \, \Delta{k} \\ \quad \LARGE{\Rightarrow} \quad \rho \, \Delta{s} \, k_1 &< \left( M - M_R\right) \, \Delta{k} + \rho\,s_{2}\Delta{k} \end{split} \end{equation*}

Wenn wir in dieser Ableitung die linke Seite von der rechten Seite subtrahieren erhalten wir direkt die Höhe der exakten Differenzkosten bzw. der potentiellen Ersparnis \Delta{K} = K_1 - K_2.

(6)   \begin{equation*} \begin{split} \Delta{K} &= \left( M - M_R\right) \, \Delta{k} + \rho\,s_{2}\Delta{k} \, - \rho \, \Delta{s} \, k_1 \\ &= \left( M - M_R\right) \, \Delta{k} + \dfrac{M}{s}\,s_{2}\Delta{k}\, - \dfrac{M}{s} \, \Delta{s} \, k_1\\ &= M\cdot \left(\left( 1 - \dfrac{M_R}{M}\right) \, \Delta{k} + \dfrac{s_{2}}{s}\,\Delta{k}\, - \dfrac{\Delta{s}}{s} \, \, k_1\right) \end{split} \end{equation*}

Nach dem Obigen ist das Rentabilitätskriterium K_2 < K_1 auf jeden Fall dann erfüllt, wenn

(7)   \begin{equation*} \rho \, \Delta{s} \, k_1 < \left( M - M_R\right) \, \Delta{k} \end{equation*}

Wir können davon ausgehen, dass die Länge der fraglichen Strecken s_1 und s_2 jeweils nur einen Bruchteil der gesamten mit einer Tankfüllung zurückzulegenden Fahrtstrecke s ausmachen, sagen wir maximal 20%. Unter dieser Voraussetzung, also s_1 < 0.2\cdot s und s_2 < 0.2\cdot s, wird demnach das Kriterium maximal um den Wert \rho\,s_{2}\Delta{k} < 0.2 \,\rho\, s\,\Delta{k} = 0.2 \,M\,\Delta{k} verschärft, dabei haben wir \rho \, s = M verwendet.

Wenn wir für k_1 einfach k schreiben und \Delta{M} = \rho\,\Delta{s} setzen, erhalten wir somit die prägnante Rentabilitätsbedingung

(8)   \begin{equation*} {\frac{\Delta{M}}{M - M_R} < \frac{\Delta{k}}{k}} \end{equation*}

Das einfache Kriterium lautet demnach: Der Umweg lohnt sich, wenn der durch den Umweg hervorgerufene Mehrverbrauch \Delta{M} in Relation zur fehlenden Füllmenge M - M_R am Start kleiner ist, als das  Verhältnis der Preisdifferenz pro Liter bezogen auf die regulären Kosten pro Liter.

Hierin können wir wegen \rho = \frac{M}{s} auch \Delta{M} = \frac{M}{s} \,\Delta{s} einsetzen und bekommen so die modifizierte Form

(9)   \begin{equation*} {\frac{M}{M - M_R} \frac{\Delta{s}}{s} < \frac{\Delta{k}}{k}} \end{equation*}

Nach obiger Formel für den erzielten Gewinn ergibt sich im Grenzfall {\frac{M}{M - M_R} \frac{\Delta{s}}{s} = \frac{\Delta{k}}{k}} immer noch eine Ersparnis von

(10)   \begin{equation*} \begin{split} \Delta{K} &= \left( M- M_R\right) \, \Delta{k} + \dfrac{s_{2}}{s}\,M\,\Delta{k}\,\, - \dfrac{\Delta{s}}{s} \, M \, k \\ &= \left( M- M_R\right) \left( \dfrac{\Delta{k}}{k}\, - \dfrac{M}{M- M_R}\,\dfrac{\Delta{s}}{s} + \dfrac{M}{M- M_R}\,\dfrac{s_{2}}{s}\,\dfrac{\Delta{k}}{k}\right)\cdot k \\ &= {M}\cdot\dfrac{s_{2}}{s}\cdot\Delta{k} \end{split} \end{equation*}

Das ist genau der Betrag, der in der Ableitung von Formel (7) vernachlässigt worden war.

In den meisten Fällen kennt man die nach Formel (8) benötigte Restmenge M_R im Tank natürlich nicht genau, man kann sie aber mittels der Tankanzeige abschätzen. Eine andere Möglichkeit ist, stattdessen auf die oft sogar digital angezeigte Restreichweite s_R auszuweichen. Wegen \frac{M}{s} = \frac{M_R}{s_R} erhalten wir daher nach Ersetzen von M_R in der vorstehenden Formel das einfacher zu handhabende Kriterium

(11)   \begin{equation*} \boxed{\frac{\Delta{s}}{s-s_R} < \frac{\Delta{k}}{k}} \end{equation*}

Das modifizierte Kriterium lautet nun also: Der Umweg lohnt sich, wenn die Länge des Umwegs \Delta{s} in Relation zur Differenz zwischen der Maximalreichweite s und der Restreichweite s_R am Start kleiner ist, als das  Verhältnis der Preisdifferenz pro Liter bezogen auf die regulären Kosten pro Liter.

Wie oben erreicht auch hier die Ersparnis im Grenzfall {\frac{\Delta{s}}{s-s_R} = \frac{\Delta{k}}{k}} den minimalen aber noch positiven Wert {M}\,\frac{s_{2}}{s}\,\Delta{k}.

Das Kriterium kann man noch einfacher formulieren, wenn die Restmenge M_R als klein gegenüber der maximalen Füllmenge M angenommen wird, also  M_R \ll M. In der Tat stellt sich die Frage, ob man denn nun tanken soll oder nicht, nur dann, wenn die Restmenge M_R unter einen bestimmten Füllstand gesunken ist. Für diese Grenze dürfen wir etwa 10% bis 20% der maximalen Füllmenge M annehmen. Wenn also M_R < 0.2\cdot M, dann gilt

(12)   \begin{equation*} - 0.2\cdot M \, < \,\rho \, s_2\, - M_R \, < \, 0.2\cdot M \end{equation*}

womit weiter folgt

(13)   \begin{equation*} \begin{split} \rho \, \Delta{s} \, k &< \left( M - M_R\right) \, \Delta{k} + \rho\,s_{2}\Delta{k} \\ &= M \, \Delta{k} + \left( \rho \, s_2\, - M_R \right)\Delta{k} \end{split} \end{equation*}

Wenn wir hier den zweiten Summanden weglassen, machen wir nach dem Vorstehenden einen Fehler höchstens in der Größe 0.2\, M\, \Delta{k}. Falls die Strecke s_2 sehr klein ist, also s_2 \approx 0, und die Restmenge M_R im Tank relativ groß, also M_R \approx 0.2\cdot M, würde auf der rechten Seite der Ungleichung der negative Summand -0.2\, M\, \Delta{k} fehlen. Für große Werte von \rho \, \Delta{s} \, k nahe M \, \Delta{k} könnten wir also die Rentabilitätsbedingung fälschlicherweise für erfüllt halten. Im umgekehrten Fall einer großen Strecke s_2, also s_2 \approx 0.2\,\rho\cdot M, und einer kleinen Restmenge M_R im Tank, also M_R \approx 0, würde auf der rechten Seite der Ungleichung ein positiver Summand der Größe 0.2\, M\, \Delta{k} stehen. Für Werte von \rho \, \Delta{s} \, k größer als M \, \Delta{k} könnten wir also in dieser Situation die Rentabilitätsbedingung fälschlicherweise für nicht erfüllt halten. Praktisch haben diese Fälle keine Bedeutung, weil man das Kriterium im Sinne einer positiven Aussage natürlich nur dann heranziehen wird, wenn die Differenz zwischen der linken und der rechten Seite hinreichend groß ist, z.B. \rho \, \Delta{s} \, k < 0.5 \cdot M \, \Delta{k}.

Dies bedenkend können wir demnach den zweiten Summanden ignorieren und erhalten nach Division durch \rho die knappe Form

(14)   \begin{equation*} \Delta{s} \cdot k < s \cdot \Delta{k} \end{equation*}

und somit die noch prägnantere Rentabilitätsbedingung

(15)   \begin{equation*} \boxed{\frac{\Delta{s}}{s} < \frac{\Delta{k}}{k}} \end{equation*}

Das finale Kriterium lautet daher: Der Umweg lohnt sich, wenn die Länge des Umwegs in Relation zur gesamten mit einer Tankfüllung fahrbaren Strecke (Reichweite) kleiner ist, als das Verhältnis der Preisdifferenz pro Liter in Bezug auf die regulären Kosten pro Liter.

Wie groß ist die Ersparnis in dieser Situation? Das hängt von der Differenz zwischen {\frac{\Delta{s}}{s}} und {\frac{\Delta{k}}{k}} ab. Wir erhalten

(16)   \begin{equation*} \begin{split} \Delta{K} &= Mk\cdot \left(\left( 1 - \dfrac{M_R}{M}\right) \, \dfrac{\Delta{k}}{k} + \dfrac{s_{2}}{s}\, \dfrac{\Delta{k}}{k}\, - \dfrac{\Delta{s}}{s}\right) \\ &= Mk\cdot \left(\dfrac{\Delta{k}}{k}\, - \dfrac{\Delta{s}}{s} + \left(\dfrac{s_{2}}{s}\, - \dfrac{M_R}{M}\right) \dfrac{\Delta{k}}{k} \right) \\ &= Mk\cdot \left(\dfrac{\Delta{k}}{k}\, - \dfrac{\Delta{s}}{s} + \dfrac{s_{2}\, - s_R}{s} \dfrac{\Delta{k}}{k} \right) \end{split} \end{equation*}

Somit bekommen wir im Grenzfall {\frac{\Delta{s}}{s} = \frac{\Delta{k}}{k}} den Wert

(17)   \begin{equation*} \begin{split} \Delta{K} &= \left( M \cdot \dfrac{s_{2}}{s} \, - M_R \right) \Delta{k}\\ &= M \cdot \dfrac{s_{2}\, - s_R}{s} \cdot \Delta{k} \end{split} \end{equation*}

In diesem Extremfall ergibt sich also eine Ersparnis nur dann, wenn \frac{s_{2}}{s} > \frac{M_R}{M} bzw., was dieselbe Aussage ist, wenn s_{2} > {s_R}. Für die Anwendung des Kriteriums haben wir M_R < 0.2 \cdot M vorausgesetzt, demnach kann der Gewinn im ungünstigsten Falle bis auf den eventuell negativen Wert

(18)   \begin{equation*} \begin{split} \Delta{K_{\text{min}}} &= M \cdot \left(\dfrac{s_{2}}{s} \, - 0.2 \right) \Delta{k} \\ &> -0.2 \cdot M \Delta{k} \end{split} \end{equation*}

absinken. Diese negative Auszahlung können wir ganz leicht durch eine Modifikation des Kriteriums vermeiden. Wie man Gleichung (16) entnimmt reicht es dazu aus, für die Differenz {\frac{\Delta{k}}{k}} - {\frac{\Delta{s}}{s}} einen Wert größer oder gleich {0.2 \cdot \frac{\Delta{k}}{k}} zu nehmen. Die im Grenzfall erzielte Einsparung wird damit

(19)   \begin{equation*} \begin{split} \Delta{K} &= Mk\cdot \left(0.2\cdot\dfrac{\Delta{k}}{k} + \left(\dfrac{s_{2}}{s}\, - 0.2\right) \dfrac{\Delta{k}}{k} \right) \\ &= M \cdot \dfrac{s_{2}}{s} \cdot \Delta{k} \\ &> 0 \end{split} \end{equation*}

Demzufolge erhalten wir bei der erfüllten Bedingung

(20)   \begin{equation*} {\frac{\Delta{s}}{s} < 0.8 \cdot \frac{\Delta{k}}{k}} \end{equation*}

in jedem Falle eine positive Auszahlung. Der einfacheren Anwendung halber macht es Sinn, das Kriterium in die Form

(21)   \begin{equation*} \boxed{ \frac{\Delta{s}}{s} < \frac{1}{2} \frac{\Delta{k}}{k}} \end{equation*}

zu bringen und dergestalt nochmals zu verschärfen („Halbe-Regel“). Ist diese Bedingung erfüllt, können wir sicher sein, dass der Kostenvorteil beim Tanken an T_2 durch die Umwegstrecke höchstens teilweise aufgezehrt wird. Auch im ungünstigen Fall einer kurzen Strecke s_2 und einer hohen Restmenge M_R \approx 0.2\cdot M im Tank, bliebe noch ein Kostenvorteil von mindestens 30% der Bruttoersparnis auf Basis der reinen Tankkosten. Das kann man unmittelbar beim Einsetzen in Gleichung (19) ableiten:

(22)   \begin{equation*} \begin{split} \Delta{K} &= Mk\cdot \left(0.5\cdot\dfrac{\Delta{k}}{k} + \left(\dfrac{s_{2}}{s}\, - 0.2\right) \dfrac{\Delta{k}}{k} \right) \\ &= M \cdot \left(\dfrac{s_{2}}{s} \, + 0.3 \right) \Delta{k} \end{split} \end{equation*}

Verweilen wir noch einen Moment bei der Bestimmung des resultierenden Kostenvorteils. Mit den Gleichungen (1) und (16) können wir den effektiven relativen Kostenvorteil  in Abhängigkeit vom Erfüllungsgrad des Kriterium errechnen. Wir erhalten (mit K=K_1, k=k_1 sowie s_2 = s_1 + \Delta{s})

(23)   \begin{equation*} \begin{split} \dfrac{\Delta{K}}{K} &= \dfrac{Mk\cdot \left(\dfrac{\Delta{k}}{k}\, - \dfrac{\Delta{s}}{s} + \dfrac{s_{2}\, - s_R}{s} \dfrac{\Delta{k}}{k} \right)}{\left( M - M_R\right)\, k + \rho \, s_{1}\, k} \\ &= \dfrac{\dfrac{\Delta{k}}{k}\, - \dfrac{\Delta{s}}{s} + \dfrac{s_{2}\, - s_R}{s} \dfrac{\Delta{k}}{k}}{1 - \dfrac{M_R}{M} + \dfrac{\rho }{M}\, s_{1}} \\ &= \dfrac{\dfrac{\Delta{k}}{k}\, - \dfrac{\Delta{s}}{s} + \dfrac{s_{1}\, - s_R + \Delta{s}}{s} \dfrac{\Delta{k}}{k}}{1 - \dfrac{s_R}{s} + \dfrac{s_{1}}{s} } \\ &= \dfrac{1 \, - \dfrac{\Delta{s}}{s} \dfrac{k}{\Delta{k}} + \dfrac{s_{1}\, - s_R + \Delta{s}}{s}}{1 - \dfrac{s_R}{s} + \dfrac{s_{1}}{s}} \cdot \dfrac{\Delta{k}}{k} \end{split} \end{equation*}

Wenn wir nun im Sinne des obigen Kriteriums allgemein

(24)   \begin{equation*} {\frac{\Delta{s}}{s} = \alpha \cdot \frac{\Delta{k}}{k}} \end{equation*}

mit 0 < \alpha < 1 setzen und \gamma = \dfrac{s_R}{s} mit 0 < \gamma < 1 vereinbaren, so können wir den Ausdruck umformen zu

(25)   \begin{equation*} \begin{split} \dfrac{\Delta{K}}{K} &= \dfrac{1 \, - \alpha \, - \gamma + \dfrac{s_{1}}{s} + \dfrac{\Delta{s}}{s}}{1\, - \gamma + \dfrac{s_{1}}{s}} \cdot \dfrac{\Delta{k}}{k} \end{split} \end{equation*}

Demnach bekommen wir für die relative Ersparnis zunächst

(26)   \begin{equation*} \dfrac{\Delta{K}}{K} > \dfrac{1 \, - \alpha \, - \gamma}{1\, - \gamma + \dfrac{s_{1}}{s}} \cdot \dfrac{\Delta{k}}{k} \end{equation*}

und sofern \gamma > \dfrac{s_1}{s} , wenn also die Restreichweite s_R größer als s_1 ist,

(27)   \begin{equation*} \dfrac{\Delta{K}}{K} > \left({1 \, - \alpha \, - \gamma}\right) \cdot \dfrac{\Delta{k}}{k} \end{equation*}

Je kleiner die relative Länge des Umwegs \dfrac{\Delta{s}}{s} im Vergleich zur relativen Preisdifferenz pro Liter \dfrac{\Delta{k}}{k} ist (das genau ist die Bedeutung der Größe \alpha) und je kleiner die Restreichweite s_R im Vergleich zur regulären Reichweite s ist (also = \gamma), desto näher liegt die aufgrund der örtlichen Gegebenheiten und dem Tankfüllstand tatsächlich realisierbare relative Kosteneinsparung an der relativen Preisdifferenz pro Liter.

Im Falle der Halbe-Regel (also \alpha = 0.5) heißt dies konkret

(28)   \begin{equation*} \begin{split} \dfrac{\Delta{K}}{K} &> \left({0.5 \, - \gamma}\right) \cdot \dfrac{\Delta{k}}{k} \\&= \left({0.5 \, - \dfrac{s_R}{s}}\right) \cdot \dfrac{\Delta{k}}{k} \end{split} \end{equation*}

Unter der oben formulierten Voraussetzung M_R < 0.2\cdot M, was ja zugleich s_R < 0.2\cdot s bedeutet, folgt unmittelbar

(29)   \begin{equation*} \dfrac{\Delta{K}}{K} > 0.3 \cdot \dfrac{\Delta{k}}{k} \end{equation*}

Mindestens 30% des maximal möglichen Gewinns werden daher bei erfüllter Halbe-Regel realisiert. In absoluten Größen hatten wird das schon oben formuliert.

Das Rentabilitätskriterium können wir zur Berechnung der höchstens sinnvollen Länge des Umwegs verwenden. Nach Obigem haben wir

(30)   \begin{equation*} \Delta{s} < \frac{\Delta{k}}{k} \cdot {s}\end{equation*}

bzw. die konservativere Abschätzung (Halbe-Regel)

(31)   \begin{equation*} \Delta{s} <\frac{1}{2} \, \frac{\Delta{k}}{k} \cdot {s}\end{equation*}

oder kürzer

(32)   \begin{equation*} \Delta{s} \ll \frac{\Delta{k}}{k} \cdot {s}\end{equation*}

Den exakten Wert für die maximal sinnvolle Länge des Umwegs erhält man aus Formel (5) wegen

(33)   \begin{equation*} \begin{split} &\rho \, \Delta{s} \, k_1 < \left( M - M_R\right) \, \Delta{k} + \rho\,s_{2}\Delta{k} \\ \Rightarrow \quad &\rho \, \Delta{s} \, k_1 < \left(M - M_R\right) \, \Delta{k} + \rho\,\left(s_{1}+\Delta{s}\right)\Delta{k} \\ \Rightarrow \quad &\rho \, \Delta{s} \, \left(k_1 - \Delta{k}\right) < \left(M - M_R\right) \, \Delta{k} + \rho\,s_{1}\Delta{k} \\ \Rightarrow \quad &\rho \, \Delta{s} \, k_2 < \left(M - M_R\right) \, \Delta{k} + \rho \, s_{1}\Delta{k} \end{split} \end{equation*}

und mit \rho = \frac{M}{s} zu

(34)   \begin{equation*} \begin{split} \Delta{s_{\text{max}}} &= \dfrac{\left(M - M_R\right) \, \Delta{k} + \rho \, s_{1}\Delta{k}}{\rho \, k_2} \\ &= \left(\left(1-\dfrac{M_R}{M}\right)\cdot{s} + s_{1}\right) \dfrac{\Delta{k}}{k_2} \end{split} \end{equation*}

In der nachfolgenden Tabelle sind einige Beispiele durchgerechnet:

 BeispielkalkulationABCD
*Preis k_1 in € an Tankstelle T_11,251,251,121,32
Preis k_2 in € an Tankstelle T_21,201,201,041,26
*Preisdifferenz \Delta{k} in ct.5586
Fahrtstrecke s_1 in km10101020
Fahrtstrecke s_2 in km20303025
Tankgröße M in l48487242
Restmenge M_R in l62487
*Umweg \Delta{s} in km1020205
*Reichweite s in km8008001200600
Gesamtkosten K_1 in €53,2530,7572,3548,05
Gesamtkosten K_2 in €51,8430,9668,4346,31

Tabelle 1a

 BeispielkalkulationABCD
Ersparnis K_1 - K_2 in €1,41-0,213,921,74
Kriterium \frac{M}{M - M_R} \frac{\Delta{s}}{s} < \frac{\Delta{k}}{k}0,014 < 0,040,05 < 0,040,019 < 0,0710,01 < 0,045
Kriterium \frac{\Delta{s}}{s} < \frac{\Delta{k}}{k}0,013 < 0,040,025 < 0,040,017 < 0,0710,008 < 0,045
Kriterium 2\cdot \frac{\Delta{s}}{s} < \frac{\Delta{k}}{k} (Halbe-Regel)0,025 < 0,040,05 < 0,040,033 < 0,0710,017 < 0,045
Maximal empfohlener Umweg \Delta{s} in km nach der Halbe-Regel16,0016,0042,8613,64
Ersparnis K_1 - K_2 hierbei in €0,980,082,490,98
Maximal sinnvoller Umweg \Delta{s_{\text{max}}}
in km		29,5817,0882,8224,76

Tabelle 1b

Anmerkung: Für die Anwendung des Kriteriums braucht man nur die in der Tabelle mit einem Stern (*) markierten Werte.

In den gewählten Beispielen A, C und D lohnen sich die Umwege mit den angegebenen Ersparnissen von 1,41 €, 3,92 € und 1,74 €. Alle drei Kriterien, das Restmengenkriterium, das einfache finale Kriterium sowie die Halbe-Regel geben dazu jeweils die richtige Einschätzung. Im Falle von Beispiel B mit der großen Restmenge im Tank liegt das einfache finale Kriterium hingegen falsch: Folgt man ihm, so würde man den Umweg fahren, letztlich aber draufzahlen (Mehrausgabe = 0,21 €). Ursächlich hierfür ist die nicht erfüllte Anwendungsbedingung M_R \ll M. Das Restmengenkriterium und die Halbe-Regel liegen indessen auch in diesem Falle richtig und empfehlen den Umweg nicht.

Die obigen Beispiele repräsentieren typische Einzelfälle. Interessanter ist die Frage nach dem möglichen Gewinn bei konsequenter Befolgung der Kriterien. Dazu betrachten wir die mögliche Einsparung im Falle der obigen Beispiele bezogen auf unterschiedliche Jahresfahrleistungen und ausgehend von Annahmen über die Variationsbreite der Spritpreise, der Preisdifferenz, der Restfüllmenge im Tank, der Fahrstrecke zwischen Start und Ziel sowie der Länge des Umwegs. In Tabelle 2 sind für vier Beispiele jeweils die angenommenen minimalen und maximalen Werte aufgelistet. Die resultierenden Ergebnisse unter der Annahme einer Gleichverteilung innerhalb der angegebenen Spannbreiten sind in Tabelle 3 als Fazit aus Monte-Carlo-Simulationen für jeweils 1000 Tankfahrten mit zufällig variierten Eingangsparametern pro Beispiel dokumentiert. In Tabelle 4 sind die daraus abgeleiteten Resultate für die mittleren Einsparungen bei den gegebenen Jahresfahrleistungen für die vier Beispiele aufgelistet.

 ParametervariationABCD
Minimaler Preis k_1 in € an Tankstelle T_11,21,220,951,22
Maximaler Preis k_1 in € an Tankstelle T_11,41,451,21,5
Unterer Wert der Preisdifferenz \Delta{k} in ct.1111
Oberer Wert der Preisdifferenz \Delta{k} in ct.10101010
Minimaler Wert für die Fahrtstrecke s_1 in km10101010
Maximaler Wert für die Fahrtstrecke s_1 in km30303030

Tabelle 2a

 ParametervariationABCD
Minimaler Wert für die Fahrtstrecke s_1 in km10101010
Maximaler Wert für die Fahrtstrecke s_1 in km30303030
Minimaler Umweg \Delta{s} in km1111
Maximaler Umweg \Delta{s} in km20203010
Unterer Wert für die Restmenge im Tank M_R in l3333
Oberer Wert für die Restmenge im Tank M_R in l10241610

Tabelle 2b

Nach den vorstehenden Daten wird unterstellt, dass sich die Preisdifferenz zwischen 1 und 10 Cent bewegt. Im Mittel liegt der Unterschied somit bei etwa 5 ct.

Monte-Carlo Simulation – ÜbersichtABCD
Anzahl Fahrten1000100010001000
Anteil Fahrten mit Gewinn0,8590,8110,9010,910
Anteil Fahrten ohne Gewinn0,1410,1890,0990,090
Summe Gewinne1376,731054,472267,591349,53
Mittelwert Gewinn pro Tankvorgang1,3771,0542,2681,350
Monte-Carlo SimulationABCD
Anzahl Fahrten mit erfülltem Kriterium unter Berücksichtigung des Tankfüllstandes851793895906
Anteil solcher Fahrten0,8510,7930,8950,906
Anteil Fahrten mit Gewinn1,0001,0001,0001,000
Anteil Fahrten ohne Gewinn0,0000,0000,0000,000
Summe Gewinne1436,281136,252319,501367,71
Mittelwert Gewinn pro Tankvorgang1,6881,4332,5921,510
Monte-Carlo SimulationABCD
Anzahl Fahrten mit erfülltem einfachen Kriterium874880916928
Anteil solcher Fahrten0,8740,8800,9160,928
Anteil Fahrten mit Gewinn0,9830,9220,9840,981
Anteil Fahrten ohne Gewinn0,0170,0780,0160,019
Summe Gewinne1435,651126,092318,571366,82
Mittelwert Gewinn pro Tankvorgang1,6431,2802,5311,473
Monte-Carlo SimulationABCD
Anzahl Fahrten mit erfüllter Halbe-Regel685681763812
Anteil solcher Fahrten0,6850,6820,7630,812
Anteil Fahrten mit Gewinn1,0001,0001,0001,000
Anteil Fahrten ohne Gewinn0,0000,0000,0000,000
Summe Gewinne1356,541093,102250,261346,75
Mittelwert Gewinn pro Tankvorgang1,9801,6052,9491,659
Monte-Carlo SimulationABCD
Anzahl Fahrten mit erfülltem exaktem Kriterium859811901910
Anteil solcher Fahrten0,8590,8110,9010,910
Anteil Fahrten mit Gewinn1,0001,0001,0001,000
Anteil Fahrten ohne Gewinn0,0000,0000,0000,000
Summe Gewinne1436,571136,812319,651367,76
Mittelwert Gewinn pro Tankvorgang1,6721,4022,5751,503

Tabelle 3

Mittlere Einsparung (Halbe-Regel)ABCD
Jahresfahrleistung in km20000200003000010000
Mittlere Fahrstrecke
pro Tankfüllung in km		7005851052512
Anzahl Tankvorgänge
pro Jahr		28,5634,1828,5319,54
Resultierende Ersparnis im Jahr in € bei Anwendung der
Halbe-Regel		39,0636,2764,7028,03

Tabelle 4

Die mittleren Fahrstrecken pro Tankfüllung ergeben sich aus den variierten Restfüllständen nach Tabelle 2 gemäß den unterstellten unteren und oberen Grenzen. Die Anzahl der Tankvorgänge pro Jahr folgt aus der Jahresfahrleistung und der mittleren Fahrstrecke pro Füllung.

Der vorstehenden Tabelle entnimmt man auf Basis der angegebenen Jahresfahrleistungen und den in Tabelle 2 dokumentierten Variationsbreiten für die Spritkosten, die Preisdifferenz und die zu fahrenden Umwege mittlere Einsparpotentiale in der Größenordnung der Kosten für etwa eine halbe Tankfüllung.

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