⇐ Palindrome – Zahlen

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Eine Zahl, die bei Umkehrung der Ziffernfolge unverändert bleibt, nennt man «Palindrom». Eine andere Bezeichnung dafür ist einfach «symmetrische Zahl».

Beispiele: \(11, 121, 1221, 44544, 92329, 7125217, \) usw.

Ob eine bestimmte Zahl Palindrom ist oder nicht, hängt natürlich vom verwendeten Ziffernsystem ab. In der folgenden Tabelle sind einige Zahlen in verschiedenen Ziffernsystemen aufgelistet. Die Palindrome sind farbig hervorgehoben.

Basis 10 (Dezimal)	Basis 2 (Binär)	Basis 3	Basis 5	Basis 8 (Oktal)	Basis 16 (Hexadezimal)
0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1
2	10	2	2	2	2
3	11	10	3	3	3
4	100	11	4	4	4
5	101	12	10	5	5
6	110	20	11	6	6
7	111	21	12	7	7
8	1000	22	13	10	8
9	1001	100	14	11	9
10	1010	101	20	12	A
11	1011	102	21	13	B
12	1100	110	22	14	C
13	1101	111	23	15	D
14	1110	112	24	16	E
15	1111	120	30	17	F
16	10000	121	31	20	10
17	10001	122	32	21	11
18	10010	200	33	22	12
19	10011	201	34	23	13
20	10100	202	40	24	14
21	10101	210	41	25	15
22	10110	211	42	26	16
23	10111	212	43	27	17
24	11000	220	44	30	18
25	11001	221	100	31	19
26	11010	222	101	32	1A
27	11011	1000	102	33	1B
28	11100	1001	103	34	1C
29	11101	1002	104	35	1D
30	11110	1010	110	36	1E
31	11111	1011	111	37	1F
32	100000	1012	112	40	20
33	100001	1020	113	41	21
34	100010	1021	114	42	22
55	110111	2001	210	67	37
99	1100011	10200	344	143	63
100	1100100	10201	400	144	64
101	1100101	10202	401	145	65
200	11001000	21102	1300	310	C8
499	111110011	200111	3444	763	1F3
500	111110100	200112	4000	764	1F4
501	111110101	200120	4001	765	1F5
502	111110110	200121	4002	766	1F6
503	111110111	200122	4003	767	1F7
504	111111000	200200	4004	770	1F8
511	111111111	200221	4021	777	1FF
512	1000000000	200222	4022	1000	200
513	1000000001	201000	4023	1001	201
514	1000000010	201001	4024	1002	202
524	1000001100	201102	4044	1014	20C

Im einfachsten Falle betrachtet man die Zahlen im Binärsystem (nur die Ziffern \(0\) und \(1\)). Nichtsdestotrotz schreibt man die Zahlen dezimal, so sind wir es gewohnt. Z.B. ist die Nummer 16 in dieser Folge die Zahl \(73=1001001\). Die ersten aufeinanderfolgenden binären Palindrome sind: \(0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, 45, 51, 63,65, 73, 85, 93, 99,\) … (s. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, Link: https://oeis.org/A006995 [Numbers whose binary expansion is palindromic] für weitere Zahlen).

Man kann das \(n\)-te binäre Palindrom bestimmen, ohne alle in Frage kommenden Zahlen im Einzelnen betrachten zu müssen. Z.B. ist das 1000ste binäre Palindrom die Zahl \(249903=111101000000101111_2\), das 10-milliardste binäre Palindrom ist \(24502928886295666773\). Im letzteren Falle hat die entsprechende Binärzahl bereits 65 Stellen. Eine ganz einfache allgemeine Formel für das \(n\)-te binäre Palindrom – wir bezeichnen es im Folgenden kurz mit \(P_2 (n)\) – gibt es nicht, doch kann man in speziellen Fällen das \(n\)-te binäre Palindrom leicht berechnen, z.B. gilt

\begin{equation} \begin{array}{lcl} P_2 (2^m – 1) &=&2^{2m-2}-1  \\ P_2 (2^m)  &=&2^{2m-2}+1  \\ P_2 ( 2^m+1)  &=&2^{2m-2}+2^{m-1}+1 \\P_2( 5\cdot 2^{m-2}-1) &=&2^{2m-2}+2^{m-3}-3 \\ P_2 ( 5\cdot 2^{m-2}) &=&2^{2m-2}+2^{m-3}+3 \\ P_2 ( 6\cdot 2^{m-2}-1 ) &=&2^{2m-1}-1 \\ P_2 ( 6\cdot 2^{m-2} ) &=&2^{2m-1}+1 \\ P_2( 6\cdot 2^{m-2}+1 ) &=&2^{2m-1}+2^{m}+2^{m-1}+1 \\P_2 ( 7\cdot 2^{m-2}-1 ) &=&2^{2m-1}+2^{m-2}-3 \\ P_2 ( 7\cdot 2^{m-2} ) &=&2^{2m-1}+2^{m-2}+3  \end {array} \end{equation}

Demnach ist also \( {{2}^{{\left( {20-2} \right)}}}+{{2}^{{\left( {10-1} \right)}}}+1 = 262657 \) das 1025ste binäre Palindrom. Die unmittelbar vorhergehenden 1024sten und 1023sten Palindrome sind \(262145\) und \(262143\).

Für die allgemeine Bestimmung kann man eine rekursive Berechnungsmethode anwenden: \begin{align} {{P}_{2}}\left( n \right)={{2}^{{2k-q}}}+1+{{2}^{p}}\cdot {{P}_{2}}\left( m \right) \end{align} wobei \( k=\lfloor {\log}_{2}\left( {n-1} \right)\rfloor \) und die Parameter \( p,~q~\text{und}~m\) folgendermaßen bestimmt werden:

\( n={{2}^{{k+1}}}\) :	\( p=0,~~\) \( q=0,~~\) \( m=1\)
\( {{2}^{k}}<n<{{2}^{k}}+{{2}^{{k-1}}}\) :	\( i=n-{{2}^{k}},~~\) \( p=k-\lfloor {\log}_{2}\left( i \right)\rfloor -1\), \( q=2,\) \( m={2}^{\lfloor{{\log}_{2}}{\left( i \right)}\rfloor}+i\)
\( n=~{{2}^{k}}+{{2}^{{k-1}}}\) :	\( p=0,~~\) \( q=1,~~\) \( m=1\)
\( {{2}^{k}}+{{2}^{{k-1}}}<n<{{2}^{{k+1}}}\) :	\( j=n-{{2}^{k}}-{{2}^{{k-1}}},~~\) \( p=k-\lfloor {\log}_{2}\left( j \right)\rfloor -1\), \( q=1,~~\) \( m=2\cdot {2}^{\lfloor{{\log}_{2}}{\left( j \right)}\rfloor}+j\)

Eine weitere Möglichkeit zur direkten Bestimmung des \(n\)-ten binären Palindroms ist diese (für \( n\ge 3)\)

\begin{align} \begin{array}{l} P_2\left( n \right)=&\,2^{2m-1-p}+1+p\cdot (1-{{\left( {-1} \right)}^{n}})\cdot {{2}^{m-2}}+\\&\,\sum \limits_{{k=1}}^{m-1-p} \left[ {\left( {\dfrac{{n-\left( {3-p} \right)\cdot {2^{m-1}}}}{2^{m-1-k}}\bmod~2} \right)\cdot \left( {2^k+{2^{2m-1-p-k}}} \right)} \right] \end{array} \end{align}

wobei \( m= \lfloor {\log}_{2}\left( n \right)\rfloor\) und \( p=\lfloor \frac{{3\cdot {{2}^{{m-1}}}-1}}{n}\rfloor\) oder, was das gleiche bedeutet, der Parameter nach folgender Fallunterscheidung eingesetzt wird:

\( n\ge 3\cdot {{2}^{{m-1}}}\)	\( p=0\)
\( n<3\cdot {{2}^{{m-1}}}\)	\( p=1\)

Hiermit berechnete größere binäre Palindrome sind in der nachfolgenden Tabelle aufgelistet.

Nr.	Palindrom
\(1\)	\(0\)
\(2\)	\(1\)
\(3\)	\(3\)
\(4\)	\(5\)
\(5\)	\(7\)
\(6\)	\(9\)
\(7\)	\(15\)
\(8\)	\(17\)
\(9\)	\(21\)
\(10\)	\(27\)
\(10^2\)	\(2313\)
\(10^3\)	\(249903\)
\(10^4\)	\(24183069\)
\(10^5\)	\(2258634081\)
\(10^6\)	\(249410097687\)
\(10^7\)	\(24350854001805\)
\(10^8\)	\(2229543293296319\)
\(10^9\)	\(248640535848971067\)
\(10^{10}\)	\(24502928886295666773\)

Die Differenzen aufeinander folgender Palindrome bilden eine interessante Folge: \[\begin {align*} &1, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 4, 6, 4, 2, 12, 6, 12, 2, 8, 12, 8, 6, 8, 12, 8, 2, \\&24, 12, 24, 6, 24, 12, 24, 2, 16, 24, 16, 12, 16, 24, 16, 6, 16, \\&24, 16, 12, 16, 24, 16, 2, 48, \cdots \end {align*}\] (s. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, Link: https://oeis.org/A164126). Die \(2\) und die \(6\) treten dabei unendlich oft als Folgenglieder auf. Bezeichnen wir die Glieder mit \( \Delta {{P}_{2}}\left( n \right):={{P}_{2}}\left( {n+1} \right)-{{P}_{2}}\left( n \right)\) so gilt ab \(m =0\)

\begin{align} \begin{array}{l} \Delta {{P}_{2}}\left( {4\cdot {{2}^{m}}-1} \right)&=2 \\ \Delta {{P}_{2}}\left( {6\cdot {{2}^{m}}-1} \right)&=2\\ \Delta {{P}_{2}}\left( {7\cdot {{2}^{m}}-1} \right)&=6 \end{array} \end{align}

und ab \(m=1\)

\begin{equation} \Delta {{P}_{2}}\left( {5\cdot {{2}^{m}}-1} \right)=6 \end{equation}

Die allgemeine Formel für \( \Delta {{P}_{2}}\left( n \right)\) lässt sich aus der obigen Formel für \({{P}_{2}}\left( n \right)\) ableiten. Mit den Definitionen \( m=\lfloor {\log}_{2}\left( n \right) \rfloor \) und \( p=\lfloor \frac{{3\cdot {{2}^{{m-1}}}-1}}{n} \rfloor\) sowie

\begin{equation} \displaystyle d_{{n}{k}} = \left\lfloor {\frac{{n-\left( {3-p} \right)\cdot {2^{m-1}}}}{2^{m-1-k}}} \right\rfloor \bmod 2 \end{equation}

ergibt sich

\begin{equation} \Delta {P_2}(n)={{\left( {-1} \right)}^{m}}\cdot {{2}^{{m-1}}}+\sum\limits_{{k=1}}^{{m-1}}{{\left[ { \left( {d_{{n+1}{k}} – d_{{n}{k}}}\right)  \cdot \left( {{{2}^{k}}+{{2}^{{2m-1-p-k}}}} \right)} \right]}} \end{equation}

sofern \( ~{{2}^{{m+1}}}-1>n\ge 3\cdot {{2}^{{m-1}}}\) oder \( 3\cdot {{2}^{{m-1}}}-1>n\ge {{2}^{m}}\) . In den beiden Sonderfällen \( ~n={{2}^{{m+1}}}-1\) und \( n=3\cdot {{2}^{{m-1}}}-1\) ist \( \Delta {{P}_{2}}\left( n \right)=2\).

Die Folge lässt sich auch rekursiv berechnen (wie stets, \( m=\lfloor {\log}_{2}\left( n \right) \rfloor \) gesetzt)

\begin{align} {\Delta P_2 (n)= \left\{  \begin{array}{lrcl}  2\cdot \Delta P_2\ (n-2^{m-1}) \text{,} &2^{m}\le n&<&2^{m}+2^{m-2}-1 \\ 6, &n&=&2^{m}+2^{m-2}-1 \\ \Delta P_2 (n-2^{m-2}) \text{,} &2^{m}+2^{m-2}\le n&<&2^{m}+2^{m-1}-1 \\ 2, &n&=&2^m+2^{m-1}-1 \\ ( 2+(-1)^n)\cdot \Delta P_2 (n-2^{m-1})\text{,} &2^m+2^{m-1}\le n&<&2^{m+1} \end{array} \right. } \end{align}

Die Rekursionsbeziehung gilt ab \( n=5\), die Bezugswerte für \( n=1,~2,~3,~4~\) sind \( \Delta {{P}_{2}}\left( n \right) = 1, 2, 2, 2\). Der folgenden Umschreibung kann man unmittelbar entnehmen, wie sich nachfolgende Glieder aus den vorhergehenden bestimmen lassen. \begin{align} \begin{array}{lcll} \Delta {{P}_{2}}\left( {{{2}^{m}}-1+{{2}^{{m-1}}}+k} \right)&=&\left( {2-{{{\left( {-1} \right)}}^{k}}} \right)\cdot \Delta {{P}_{2}}\left( {{{2}^{m}}-1+k} \right) &\text{für }0\le k\le {{2}^{{m-1}}} \\ \Delta {{P}_{2}}\left( {{{2}^{m}}+k} \right)&=&2\cdot \Delta {{P}_{2}}\left( {{{2}^{{m-1}}}+k} \right) &\text{für }0\le k<{{2}^{{m-2}}}-2 \\  \Delta {{P}_{2}}\left( {{{2}^{m}}+{{2}^{{m-2}}}+k} \right)&=&\Delta {{P}_{2}}\left( {{{2}^{m}}+k} \right) &\text{für }0\le k<{{2}^{{m-2}}}-2 \end {array} \end{align}

Wenn man ab einer Stelle \(n={{2}^{m}}-1\)jeweils die nächsten \( {{2}^{{m-1}}}\) Folgenglieder nebeneinander schreibt, so sieht man, dass ein symmetrisches Muster entsteht. Für \( n={{2}^{4}}-1=15\) ergibt sich zum Beispiel das Tupel \((2, 8, 12, 8, 6, 8, 12, 8, 2)\). Mit anderen Worten: Die Folge der Differenzen der binären Palindrome bildet ihrerseits wieder symmetrische Muster. Tatsächlich gilt allgemein

\begin{align}  {{P}_{2}}\left( {{{2}^{m}}-1+{{2}^{{m-1}}}-k} \right)={{P}_{2}}\left( {{{2}^{m}}-1+k} \right) \text{, für }  0\le k\le {{2}^{{m-1}}} \end{align}

Wegen \(\Delta {{P}_{2}}\left( {{{2}^{m}}-1+{{2}^{{m-1}}}-k} \right)=2\) für \( k=0\) oder \( k={{2}^{{m-1}}}\) sowie \( \Delta {{P}_{2}}\left( {{{2}^{m}}-1+{{2}^{{m-1}}}-k} \right)=6\) für \( k={{2}^{{m-2}}}\) , werden diese symmetrischen Muster jeweils durch eine \(2\) links und rechts begrenzt und haben stets die \(6\) als zentrales Element.

Und weil nach obiger Formel die Folgenglieder mit \(n={{2}^{m}}-1+k+{{2}^{{m-1}}}\) direkt aus den Gliedern mit \(n={{2}^{m}}-1+k\) bestimmt werden, ergibt sich gleichfalls

\begin{align} \begin{array}{l} \Delta {{P}_{2}}\left( {{{2}^{m}}-1+{{2}^{{m-1}}}+k} \right)&=\left( {2-{{{\left( {-1} \right)}}^{k}}} \right)\cdot \Delta {{P}_{2}}\left( {{{2}^{m}}-1+k} \right) \\ &=\left( {2-{{{\left( {-1} \right)}}^{k}}} \right)\cdot \Delta {{P}_{2}}\left( {{{2}^{m}}-1+{{2}^{{m-1}}}-k} \right) \\  &=\Delta {{P}_{2}}\left( {{{2}^{m}}-1+{{2}^{{m-1}}}+{{2}^{{m-1}}}-k} \right) \\  &=\Delta {{P}_{2}}\left( {{{2}^{{m+1}}}-1-k} \right) \end{array} \end{align}

für \(0\le k\le {{2}^{{m-1}}}\).

Demnach bilden auch die Zahlen ab \(n={{2}^{m}}+{{2}^{{m-1}}}-1\) mit den folgenden \({{2}^{{m-1}}}\) Gliedern symmetrische Muster von \({{2}^{{m-1}}}+1\) Elementen, begrenzt mit je einer \(2\) sowie der \(6\) in der Mitte. Das entsprechende symmetrische Tupel für \(n={{2}^{4}}+{{2}^{3}}-1=23\) lautet \((2, 24, 12, 24, 6, 24, 12, 24, 2)\).

Wenn man die Folge nach den symmetrischen Mustern ordnet und untereinanderschreibt, erkennt man, dass das \(n\)-te Folgenglied auch einfacher berechnet werden kann.

\(m\)	Folgenglieder \( ~n={{2}^{m}}\ldots n={{2}^{m}}+{{2}^{{m-1}}}-1\)
\(m\)	Folgenglieder \( n={{2}^{m}}+{{2}^{{m-1}}}\ldots n={{2}^{{m+1}}}-1\)
0	–
0	\(1\)
1	\(2\)
1	\(2\)
2	\(2, 2\)
2	\(6, 2\)
3	\(4, 6, 4, 2\)
3	\(12, 6, 12, 2\)
4	\(8, 12, 8, 6, 8, 12, 8, 2\)
4	\(24, 12, 24, 6, 24, 12, 24, 2\)
5	\(16, 24, 16, 12, 16, 24, 16, 6, 16, 24, 16, 12, 16, 24, 16, 2\)
5	\(48, 24, 48, 12, 48, 24, 48, 6, 48, 24, 48, 12, 48, 24, 48, 2\)

Es ergibt sich die folgende Darstellung:

\begin{align} \Delta P_2 (n)= \left\{  \begin{array}{lll} 2\text{,} &n=2^{m+1}-1\text{,   oder } &n=3\cdot 2^{m-1}-1 \\ 2^{m-1}\text{,} &n=2^{m}+2k\text{, } &0\le k<2^{m-2} \\ 3\cdot 2^{m-2}\text{,} &n=2^{m}-1+(2k+1)2^1\text{, } &0\le k<2^{m-2} \\ 3\cdot 2^{m-3}\text{,} &n=2^{m}-1+(2k+1)2^2\text{, } &0\le k<2^{m-3} \\ 3\cdot 2^{m-4}\text{,} &n=2^{m}-1+(2k+1)2^3\text{, } &0\le k<2^{m-4} \\ \vdots &\vdots &\vdots \\ 3\cdot 2^{1}\text{,} &n=2^{m}-1+(2k+1)2^{m-2}\text{, } &0\le k<2^{1} \\ 3\cdot 2^{m-1}\text{,} &n=3\cdot 2^{m-1}+2k \text{, } &0\le k<2^{m-2} \\ \end{array} \right. \end{align}

Kompakter geschrieben folgt daraus

\begin{align} \Delta P_2 (n)= \left\{ \begin{array}{llll} 2\text{,} &n=2^{m+1}-1\text{,   oder } &n=3\cdot 2^{m-1}-1 \\ 2^{m-1}\text{,} &n=2^{m}+2k\text{, } &0\le k<2^{m-2} \\ 3\cdot 2^{m-1-j}\text{,} &n=2^{m}-1+(2k+1)2^j\text{, } &0\le k<2^{m-1-j}\text{, } &1\le j<m-1 \\  3\cdot 2^{m-1}\text{,} &n=3\cdot 2^{m-1}+2k \text{, } &0\le k<2^{m-2} \\ \end{array}  \right. \end{align}

Das kann man weiter vereinfachen zu

\begin{align} \Delta P_2 (n)= \left\{ \begin{array}{cl} 2\text{,} &n+1 \in \left\{2^{m+1}\text{, } 3\cdot 2^{m-1}\right\}   \\ 2^{m-1}\text{,} &n\equiv 0 {\pmod 2} \land n<3\cdot 2^{m-1} \\ 3\cdot 2^{m-1}\text{,} &n\equiv 0 {\pmod 2} \land n \ge 3\cdot 2^{m-1} \\ \dfrac{3\cdot 2^{m-1}}{\text{ggt}\left( {{n+1-2^{m}}{,2^{m}}} \right)}  \text{, } &\text{sonst} \\ \end{array} \right. \end{align}

Dabei steht \( \text{ggt}\left( {a,b} \right)\) für die Funktion, die den größten gemeinsamen Teiler von \(a\) und \(b\) berechnet.

Eine noch etwas kompaktere Form ist die Folgende

\begin{align} \Delta P_2 (n)= \left\{  \begin{array}{cl} 2\text{,} &n+1 \in \left\{2^{m+1}\text{, } 3\cdot 2^{m-1}\right\}   \\  \dfrac{\left({2 – {\left( -1 \right)}^{n-(n-1){\left\lfloor {\frac{2n}{3\cdot 2^m}}\right\rfloor} }}  \right)  \cdot 2^{m-1}}{\text{ggt}\left( {{n+1-2^{m}}{,2^{m}}} \right)}  \text{, } &\text{sonst} \\ \end{array}  \right. \end{align}

Kehren wir zurück zur Folge der Palindrome. Für die obige Formel zur Berechnung es \(n\)-ten binären Palindroms \( {{P}_{2}}\left( n \right)\) bekommen wir wegen

\begin{align} \displaystyle {{P}_{2}}\left( n \right)=\underset{{k=1}}{\overset{{n-1}}{\mathop \sum }}\,\Delta {{P}_{2}}\left( k \right)={{P}_{2}}\left( {{{2}^{m}}} \right)+\underset{{k={{2}^{m}}}}{\overset{{n-1}}{\mathop \sum }}\,\Delta {{P}_{2}}\left( k \right)  \end{align}

nun eine Alternative auf Basis der Differenzenfolge. Man erhält mit \( m=\lfloor {\log}_{2}\left( n \right) \rfloor \)

\begin{align} \begin{array}{l} \displaystyle {P_2} (n)=&\,2^{2m-2}+1+2\left\lfloor {\frac{{n-{{2}^{m}}}}{{{{2}^{{m-1}}}}}} \right\rfloor +\\&\,{{2}^{{m-1}}}\left\lfloor {\frac{1}{2}\min \left( {n+1-{{2}^{m}}{{{,2}}^{{m-1}}}+1} \right)} \right\rfloor +\\&\,3\cdot {{2}^{{m-1}}}\left\lfloor {\frac{1}{2}\max \left( {n+1-3\cdot {{2}^{{m-1}}},0} \right)} \right\rfloor +\\ &\,3\cdot \sum\limits_{{j=2}}^{{m-1}}{{\left( {\left\lfloor {\dfrac{{n+{{2}^{{j-1}}}-{{2}^{m}}}}{{{{2}^{j}}}}} \right\rfloor \cdot {{2}^{{m-j}}}} \right)}} \end{array} \end{align}

Ist \(p\) ein vorgegebenes binäres Palindrom, so stellt sich die Frage, das Wievielte in der geordneten Folge der Palindrome es ist. Auch darauf gibt es eine Antwort. Für \( p\ge 1\) gilt mit \( m=\lfloor {\log}_{2}\left( p \right) \rfloor \):

\begin{align} \displaystyle P_{2}^{{-1}}(p)=\left[ {\frac{{5-{{{\left( {-1} \right)}}^{m}}}}{2}+\sum\limits_{{k=1}}^{{^{{\left\lfloor {\frac{m}{2}} \right\rfloor }}}}{{\left[ {\left( {\left\lfloor {p\cdot {{2}^{{-k}}}} \right\rfloor \bmod 2} \right)\cdot {{2}^{{-k}}}} \right]}}} \right]\cdot {{2}^{{\left\lfloor {\frac{m}{2}} \right\rfloor }}} \end{align}

Das kann man wegen \( n~\bmod~2=n-2\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor \) für \( p>2\) umformen zu

\begin{align}\begin{array}{l} P_{2}^{{-1}}(p)=\,&\left( {5-{{{\left( {-1} \right)}}^{m}}} \right)\cdot {{2}^{{\left\lfloor {\frac{m}{2}} \right\rfloor -1}}}-3\cdot \sum\limits_{{k=2}}^{{^{{\left\lfloor {\frac{m}{2}} \right\rfloor }}}}{{\left\lfloor {\dfrac{p}{{{{2}^{k}}}}} \right\rfloor \cdot {{2}^{{\left\lfloor {\frac{m}{2}} \right\rfloor -k}}}}}+\\ &\,\left( {\left\lfloor {\dfrac{p}{2}} \right\rfloor \cdot {{2}^{{\left\lfloor {\frac{m}{2}} \right\rfloor -1}}}-2\cdot \left\lfloor {\dfrac{p}{2}\cdot {{2}^{{^{{-\left\lfloor {\frac{m}{2}} \right\rfloor }}}}}} \right\rfloor } \right)\cdot \left\lfloor {\dfrac{{m-1}}{m}+\dfrac{1}{2}} \right\rfloor \end{array} \end{align}

Zwei andere Schreibweisen ergeben sich mittels der Ersetzung \( ~n~\bmod~2=\frac{1}{2}\left( {1-{{{\left( {-1} \right)}}^{n}}} \right)\)

\begin{align} \displaystyle P_{2}^{{-1}}(p)=\left[ {5-{{{\left( {-1} \right)}}^{m}}+\sum\limits_{{k=1}}^{{^{{\left\lfloor {\frac{m}{2}} \right\rfloor }}}}{{\left[ {\left( {1-{{{\left( {-1} \right)}}^{{\left\lfloor {p\cdot {{2}^{{-k}}}} \right\rfloor }}}} \right)\cdot {{2}^{{-k}}}} \right]}}} \right]\cdot {{2}^{{\left\lfloor {\frac{m}{2}} \right\rfloor -1}}} \end{align}

\begin{align} \displaystyle P_{2}^{{-1}}(p)=\frac{1}{2}\left[ {\left( {6-{{{\left( {-1} \right)}}^{m}}} \right)\cdot {{2}^{{\left\lfloor {\frac{m}{2}} \right\rfloor }}}-1-\sum\limits_{{k=1}}^{{^{{\left\lfloor {\frac{m}{2}} \right\rfloor }}}}{{\left( {{{{\left( {-1} \right)}}^{{\left\lfloor {p\cdot {{2}^{{-k}}}} \right\rfloor }}}\cdot {{2}^{{\left\lfloor {\frac{m}{2}} \right\rfloor -k}}}} \right)}}} \right] \end{align}

Daraus folgt z.B., dass \(p=1011951=11010010110100011_2\) das 2012-te binäre Palindrom ist. Eine weitere Frage, die sich hier unmittelbar anschließt: Wenn eine beliebige natürliche Zahl \(n\) vorgegeben ist, wie bestimmt sich dann das größte binäre Palindrom kleiner oder gleich \(n\)? Die Antwort gibt die folgende Formel:

\begin{align} \displaystyle \text{floorbP}(n) =\left\{ {\begin{array}{{ll}} \text{F}\left( {p,m} \right)\text{, } &\text{wenn } \text{F}\left( {p,m} \right)\le n \\ \text{F}\left( {p-{{2}^{q}},s} \right) \text{, } &\text{sonst} \end{array}} \right. \end{align}
wobei

\( p=1+2\cdot \left \lfloor \frac{{n-1}}{2} \right \rfloor\)

\( m=\left \lfloor {\log}_{2}\left( n \right) \right \rfloor \)

\( q=\left \lfloor \frac{{m+1}}{2} \right \rfloor\)

\( s=\lfloor {\log}_{2}\left( {p-{{2}^{q}}} \right) \rfloor\)

\( \displaystyle \text{F}\left( {x,r} \right)=\left\lfloor {\frac{x}{{{{2}^{q}}}}} \right\rfloor \cdot {{2}^{q}}+\sum\limits_{{k=0}}^{{^{{q-1}}}}{{\left[ {\left( {\left\lfloor {\frac{x}{{{{2}^{{r-k}}}}}} \right\rfloor \bmod 2} \right)\cdot {{2}^{k}}} \right]}}\)

Wie man sieht, gilt für die hier definierte Funktion \(\text{F}\)

\begin{align} \displaystyle \text{F}\left( {p,m} \right)=\left\lfloor {\frac{p}{{{{2}^{q}}}}} \right\rfloor \cdot {{2}^{q}}+\operatorname{Reversal}\left( p \right)\ \bmod {{2}^{q}} \end{align}

bzw.

\begin{align}\displaystyle \text{F}\left( {p-{{2}^{q}},s} \right)=\left\lfloor {\frac{{p-{{2}^{q}}}}{{{{2}^{q}}}}} \right\rfloor \cdot {{2}^{q}}+\operatorname{Reversal}\left( {p-{{2}^{q}}} \right)\ \bmod {{2}^{q}} \end{align}

Dabei steht \( \displaystyle \text{Reversal} \left( {x} \right)\ \) für die Umkehrung des Bitmusters von \(x\).

Weiter kann man nun fragen, wie viele Palindrome \(<2^n\) es gibt und wie groß die Summe dieser Palindrome ist. Die Anzahl der Palindrome zwischen \(2^{n-1}\) und \(2^n\) kann man leicht bestimmen. Es gilt (für \( n\ge 1\))

\begin{align} \displaystyle \sum\limits_{{{{2}^{{n-1}}}\le {{P}_{2}}(k)<{{2}^{n}}}}{1}={{2}^{{\left\lfloor {\frac{{n-1}}{2}} \right\rfloor }}} \end{align}

Damit berechnet man die Anzahl der Palindrome \(<2^n\) zu für \(n\ge 1\)

\begin{align} \begin{array}{l} {{A}_{2}}({{2}^{n}})=\sum\limits_{{0\le {{P}_{2}}(k)<{{2}^{n}}}}{1} &=\left\{ \begin{array}{ll} {2\cdot 2^{\frac{n}{2}}-1} \text{, } &n\equiv 0 {\pmod 2} \\  {3\cdot 2^{\frac{n-1}{2}}-1} \text{, } &n\equiv 1 {\pmod 2} \end{array} \right.  \\ &=\dfrac{{5-{{{\left( {-1} \right)}}^{n}}}}{2}\cdot {{2}^{{\left\lfloor {\frac{n}{2}} \right\rfloor }}}-1 \ \end{array} \end{align}

Die Summe der Palindrome zwischen \(2^{n-1}\) und \(2^n\) ergibt sich ferner für \( n\ge 2\) zu

\begin{align} \displaystyle {{s}_{n}}=\sum\limits_{{ 2^{n-1}  \le {{P}_{2}}(k)<{{2}^{n}}}}^{{}}{{{{P}_{2}}(k)}}=\frac{3}{8}\cdot {{2}^{{n+\left\lfloor {\frac{{n+1}}{2}} \right\rfloor }}} \end{align}

Und schließlich erhalten wir damit die Summe der Palindrome \(<2^n\) für \( n\ge 1\) zu

\begin{align} \begin{array}{l}\displaystyle  {{S}_{2}}({{2}^{n}}) &= \sum\limits_{{0\le {{P}_{2}}(k)<{{2}^{n}}}}^{{}}{{{{P}_{2}}(k)}} \\  &=1+\left\{ \begin{array}{ll} 15\cdot \dfrac{8^{\frac{n-2}{2}}-1}{7}+3\cdot {8^{\frac{n-2}{2}}} \text{, } &n\equiv 0 {\pmod 2} \\ 15\cdot \dfrac{8^{\frac{n-1}{2}}-1}{7} \text{, } &n\equiv 1 {\pmod 2} \end{array} \right. \\&=\dfrac{8}{7} \cdot \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{9}{16}\cdot {2^{3\frac{n}{2}}}-1 \text{, } \quad  \quad \quad &n\equiv 0 {\pmod 2} \\ \dfrac{{15}}{8}\cdot {{2}^{{3\frac{{n-1}}{2}}}}-1 \text{, }  \quad \quad \quad &n\equiv 1 {\pmod 2} \end{array} \right. \\ &=\dfrac{8}{7}\cdot \left( {\dfrac{3}{4}\dfrac{{4-{{{(-1)}}^{n}}}}{{3+{{{(-1)}}^{n}}}}\cdot {{2}^{{3\left\lfloor {\frac{n}{2}} \right\rfloor }}}-1} \right) \end{array} \end{align}

Weitaus komplizierter ist die Formel für die Summe der binären Palindrome, die kleiner oder gleich einem vorgegebenen Palindrom \(p\) sind. Die folgende Formel gilt für binäre Palindrome , wobei \( m=\lfloor {\log}_{2}\left( p \right) \rfloor \)

\begin{align} \begin{array}{l} \sum\limits_{0\le {P_2}(k)\le p}^{}{{P_2}(k)}=&\,\sum\limits_{{0 \le {P_2}(k)<{2^n}}}^{}{{P_2}(k)}+\left( {\left\lfloor {p\cdot {2^{{-\left\lfloor {\frac{m}{2}} \right\rfloor }}}} \right\rfloor \bmod 2} \right)\cdot p\,+\\   &\,{2^m}+1+\sum\limits_{k=1}^{{\left\lfloor {\frac{m}{2}} \right\rfloor -1}}{{\left( {\left\lfloor {\dfrac{p}{2^k}} \right\rfloor \bmod 2} \right)\cdot {R_ {{m(p)}{k}}(p)}}} \end{array} \end{align}

wobei \({R_ {{m(p)}{k}}(p)}\) definiert ist als

\begin{align} \begin{array}{l} {R_ {{m(p)}{k}}(p)}=&\, {2^k}+{2^{m-k}}+\sum\limits_{j=0}^{{\left\lfloor {\tfrac{m}{2}} \right\rfloor -k}}{{{s_{m-2k-2j-1}}{2^{k+j+1}}}}+\\  &\, \left( {\left\lfloor {p\cdot {{2}^{{-\left\lfloor {\frac{m}{2}} \right\rfloor }}}} \right\rfloor \bmod 2} \right)  \cdot   \left( {\sum\limits_{j=0}^{{\left\lfloor {\tfrac{m}{2}} \right\rfloor -k}}{{{a_{m-2k-2j-1}}}}} \right) \cdot \sum\limits_{j=0}^{k-1} \left( {{2^j}+{2^{m-j}}} \right)  \end{array} \end{align}

sowie \({{s}_{m}}\) und \({{a}_{m}}\) folgendermaßen

\begin{align} {{s}_{m}}=&\sum\limits_{{ 2^{m-1} \le {{P}_{2}}(k)<{{2}^{m}}}}^{{}}{{{{P}_{2}}(k)}}=\frac{3}{8}\cdot {{2}^{{m+\left\lfloor {\frac{{m+1}}{2}} \right\rfloor }}}\\ {{a}_{m}}=&\sum\limits_{{ 2^{m-1} \le {{P}_{2}}(k)<{{2}^{m}}}}^{{}}{1}={{2}^{{\left\lfloor {\frac{{m-1}}{2}} \right\rfloor }}} \end{align}

gesetzt sind. Die entsprechenden Summenausdrücke über \({{{s_{m-2k-2j-1}}{2^{k+j+1}}}}\) und \({{{a_{m-2k-2j-1}}}}\) in der Definition von \({R_ {{m(p)}{k}}(p)}\) kann man auswerten und findet

\begin{align} \sum\limits_{{j=0}}^{{\left\lfloor {\tfrac{m}{2}} \right\rfloor -k}}{{{{s}_{{m-2k-2j-1}}}}}{{2}^{{k+j+1}}}=&\,{{2}^{{m-\left\lfloor {\tfrac{m}{2}} \right\rfloor +1}}}\left( {{{4}^{{\left\lfloor {\tfrac{m}{2}} \right\rfloor -k-1}}}-1} \right)+\left( {2-{{{\left( {-1} \right)}}^{m}}} \right) {{2}^{{\left\lfloor {\tfrac{m}{2}} \right\rfloor}}}  \\ \sum\limits_{{j=0}}^{{\left\lfloor {\tfrac{m}{2}} \right\rfloor -k}}{{{{a}_{{m-2k-2j-1}}}}}=&\,{{2}^{{\left\lfloor {\tfrac{m}{2}} \right\rfloor -k}}} \end{align}

Damit erhält man

\begin{align} \begin{array}{l}  {R_{{m(p)}{k}}(p)}=&\, {{2}^{k}}+{{2}^{{m-k}}}+{{2}^{{m-\left\lfloor {\tfrac{m}{2}} \right\rfloor +1}}}\left( {{{4}^{{\left\lfloor {\tfrac{m}{2}} \right\rfloor -k-1}}}-1} \right) + \left( {2-{{{\left( {-1} \right)}}^{m}}} \right) {{2}^{{\left\lfloor {\tfrac{m}{2}} \right\rfloor}}} + \\ &\,{{2}^{{\left\lfloor {\tfrac{m}{2}} \right\rfloor -k}}}\left( {p-\left\lfloor {\left( {p\bmod {{2}^{{m-k+1}}}} \right)\cdot {{2}^{{-k}}}} \right\rfloor \cdot {{2}^{k}}} \right) \end{array} \end{align}

und es ergibt sich schließlich die Summenformel

\begin{align} \begin{array}{l} \sum\limits_{{0\le {{P}_{2}}\left( k \right)\le p}}^{{}}{{{{P}_{2}}(k)}}=&\,\dfrac{8}{7}\cdot \left( {\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{{4-{{{\left( {-1} \right)}}^{m}}}}{{3+{{{\left( {-1} \right)}}^{m}}}}\cdot {{2}^{{3\left\lfloor {\frac{m}{2}} \right\rfloor }}}-1} \right)+\\&\,\left( {\left\lfloor {p\cdot {{2}^{{-\left\lfloor {\frac{m}{2}} \right\rfloor }}}} \right\rfloor \bmod 2} \right)\cdot p+{{2}^{m}}+1+\\ &\,\sum\limits_{{k=1}}^{{\left\lfloor {\frac{m}{2}} \right\rfloor -1}}{{\left( {\left\lfloor {\dfrac{p}{{{{2}^{k}}}}} \right\rfloor \bmod 2} \right)\cdot {R_{{m(p)}{k}}(p)} }} \end{array} \end{align}

Will man die Summe der Palindrome bis zu einem bestimmten Index bestimmen, also

\begin{align} \displaystyle \sum\limits_{{k=1}}^{n}{{{{P}_{2}}(k)}} \end{align}

so muss man zunächst \(p={{P}_{2}}\left( n \right)\) berechnen und kann dann die vorstehende Formel anwenden.

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