Limitierungstheorie

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Gronwall-Verfahren

Das Gronwall-Verfahren dient zur Summierung von konvergenten und divergenten unendlichen Reihen und wird definiert auf der Basis von konformen Abbildungen. Das Summationsverfahren arbeitet mit geeigneten analytischen Funktionen $f$ und $g$ von denen insbesondere verlangt wird, dass sie auf dem abgeschlossenen Einheitskreis $E$ (mit Ausnahme des Punktes $z = 1$ ) holomorph sind. Von $f$ wird darüber hinaus Injektivität und $f(E) ⊂ E$ erwartet, zudem $f(0) = 0$ und $f(1) = 1$ . Eine Voraussetzung an die Funktion $g$ ist $g(z) ≠ 0$ für alle $z ∈ E$ , außerdem hat $g$ an der Stelle $z = 1$ eine Singularität.

⇒ Gronwall-Verfahren

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Eine Theorie komplexwertiger Abelscher Limitierungsmethoden

Ausgehend von einer geeigneten Potenzreihe

$P(z)=\sum\limits_{{n=0}}^{\infty }{{{{p}_{n}}{{z}^{n}}}}$

definieren wir Limitierung durch ein Potenzreihenverfahren über die Zuordnung

$\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{s}_{n}}:=\underset{{z\to r}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{1}{{P(z)}}\sum\limits_{{n=0}}^{\infty }{{{{p}_{n}}{{s}_{n}}{{z}^{n}}}}.$

Gegenstand dieser Arbeit sind die Verfahren mit $0 < r < {\infty }$ , wobei wir für den Grenzübergang komplexe Werte von $z$ zulassen. Es wird insbesondere der Zusammenhang zwischen der Limitierungseigenschaft und der geometrischen Form des den Grenzübergang beschreibenden komplexen Gebiets untersucht.

⇒ Eine Theorie komplexwertiger Abelscher Limitierungsmethoden

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