Wie viele Quadrate?

Die Anzahl der Quadrate in einem Rechteck mit den Seitenlängen \( m\times{n} \), wobei \( m,n\in\mathbb{N} \) und \( n\le{m} \) kann man leicht abzählen. In der nachfolgenden Grafik ist ein Beispiel mit \(10\times 6\) Feldern dargestellt. Es gibt offensichtlich  \(10\times 6\) Quadrate mit der Seitenlänge 1, \(9\times 5\) Quadrate mit der Seitenlänge 2, \(8\times 4\) Quadrate mit der Seitenlänge 3, usw. … bis \(5\times 1\) Quadrate mit der Seitenlänge 6. In der Grafik sind einige der so entstehenden Quadrate exemplarisch eingezeichnet (gestrichelt und in Farbe).

Einheitsquadrate_10x6

Abbildung 1

In Summe sind es hier \(175\) Quadrate. Die allgemeine Formel für die Summe der Quadrate in einem Rechteck mit den Seitenlängen \( n\times{m} \) mit und \( n\le{m} \) lautet
\begin{align} \begin{array}{l} S_{m\times n} &= \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{(m-k)(n-k)} \\  &= \dfrac{n(n+1)(3m-n+1)}{6} \end{array} \end{align}
Die Anzahl der Quadrate in einem Quadrat mit den Seitenlängen \( n\times{n} \), mit \( n\in\mathbb{N} \) ist
\begin{align} \begin{array}{l}  S_{n\times n} &=  \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{{(n-k)}^2} \\  &=  \displaystyle\sum\limits_{j=k}^{n}{k^2} \\  &= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{array} \end{align}

In Abbildung 2 ist ein Beispiel mit \(10\times 10\) Feldern dargestellt.

Einheitsquadrate_10x10

Abbildung 2

Hier erhalten wir jetzt nach obiger Formel insgesamt bereits \(385\) Quadrate.

Die Entsprechung zum Quadrat in der dritten Dimension ist der  Würfel. Man kann also genau so fragen, wie viele Würfel in einem Quader mit den Seitenlängen \( m\times{n}\times{p} \) enthalten sind. Setzen wir \(q:=\min{(m, n, p)}\), so erhalten wir für die Summe der Würfel

\begin{equation} S_{ m\times{n}\times{p}} = \sum\limits_{k=0}^{q}{(m-k)(n-k)(p-k)} \label{ref1} \end{equation}

Ein Quader mit den Seitenlängen \(6\times{4}\times{3} \) enthält somit

\begin{align} \begin{array}{l}  S_{6 \times 4 \times 3} &=  \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{3}{(6-k)(4-k)(3-k)} \\ &= 6\cdot 4 \cdot 3 + 5\cdot 3 \cdot 2 + 4\cdot 2 \cdot 1 \\  &= 110 \end{array} \end{align}

Würfel (s. Abbildung 3)

Einheitswuerfel_6x4x3

Abbildung 3

Die geschlossene Formel hierfür lautet

\begin{align} S_{m\times{n}\times{p}} = \frac{p(p+1)\left(6mn-(2m+2n-p)(p-1)\right)}{12} \end{align}

Dabei haben wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit \(p\) als den kleinsten Wert unter den drei Dimensionsparametern  \(m, n\) und  \(p\) angenommen. Das obige Rechenbeispiel wird jetzt zu

\begin{align}  \begin{array}{l} S_{6 \times 4 \times 3} &= \dfrac{3(3+1)\left(6\cdot 6\cdot 4- (2\cdot 6+2\cdot 4-3)(3-1)\right)}{12} \\  &= 110  \end{array} \end{align}

Wenn alle Seitenlängen gleich sind, also \(m=n=p\) gilt, vereinfacht sich die Formel auf

\begin{align} S_{n\times{n}\times{n}} = {\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2 \end{align}

Wie man damit leicht berechnet, sind somit in einem 3-dimensionalen Quader mit den gleichen Seitenlängen \(n=10\) insgesamt

\begin{align} \begin{array}{l} S_{10\times{10}\times{10}} &= {\left(\dfrac{10(10+1)}{2}\right)}^2 \\ &= 3025 \end{array} \end{align}

Würfel mit den Seitenlängen \(1, 2, 3, \cdots, 10 \) enthalten.

In \(m\) Dimensionen gilt eine zu (1) und (3) analoge Formel. Nehmen wir einen \(m\)-dimensionalen Quader mit den Seitenlängen \( n_1\times{n_2}\times{n_3}\cdots\times{n_m} \), wobei \(n \in \mathbb{N}\), \(n_i \in \mathbb{N}, \,{1\le{i}\le{m}}\), \(p:=\min{(n_i\mid{1\le{i}\le{m}})}\) und \(p\le{n}\). Wir erhalten die folgende Formel
\begin{align} S_{n_1\times{n_2}\times{n_3}\cdots\times{n_m} } = \sum\limits_{k=0}^{p}{\prod_{i=1}^{m}{(n_i-k)}} \end{align}

Sind auch hier wieder alle Seitenlängen gleich, also \(n_i=n\) für \(1\le{i}\le{m}\) und somit \(p=n \), so ergibt sich die Vereinfachung
\begin{align} \begin{array}{l}  \displaystyle S_{n^{(m)}} &=  \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{p}{ \displaystyle\prod\limits_{i=1}^{m}{(n_i-k)}} \\ &= \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{(n-k)^m} \\ &=  \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{k^m} \end{array} \end{align}

(s. entsprechende Summenformeln für \(\sum_{k=1}^{n}{k^m}\) )

Zwei Beispiele auch hierzu:

Dimension \( m=4\), Seitenlängen \(n=10\):

\begin{align} \begin{array}{l} S_{10^{(4)}} &=   \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{10}{k^4} \\  &= \dfrac{10(10+1)(2\cdot 10 + 1)(3\cdot 10 (10+1)-1)}{30}\\  &= 25333 \end{array} \end{align}

(s. Summenformel für  \(\sum_{k=1}^{n}{k^4}\) )

Dimension \( m=10\), Seitenlängen \(n=3\):

\begin{align} \begin{array}{l} S_{3^{(10)}} &=   \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{3}{k^{10}} \\ &=1^{10}+2^{10}+3^{10} \\   &= 60074 \end{array} \end{align}

   

Kommentare sind geschlossen.