Wie viele Quadrate?

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Die Anzahl der Quadrate in einem Rechteck mit den Seitenlängen $m\times{n}$ , wobei $m,n\in\mathbb{N}$ und $n\le{m}$ kann man leicht abzählen. In der nachfolgenden Grafik ist ein Beispiel mit $10\times 6$ Feldern dargestellt. Es gibt offensichtlich $10\times 6$ Quadrate mit der Seitenlänge 1, $9\times 5$ Quadrate mit der Seitenlänge 2, $8\times 4$ Quadrate mit der Seitenlänge 3, usw. … bis $5\times 1$ Quadrate mit der Seitenlänge 6. In der Grafik sind einige der so entstehenden Quadrate exemplarisch eingezeichnet (gestrichelt und in Farbe).

Abbildung 1

In Summe sind es hier $175$ Quadrate. Die allgemeine Formel für die Summe der Quadrate in einem Rechteck mit den Seitenlängen $n\times{m}$ mit und $n\le{m}$ lautet

(1) $\begin{equation*} \begin{split} S_{m\times n} &= \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{(m-k)(n-k)} \\ &= \dfrac{n(n+1)(3m-n+1)}{6} \end{split} \end{equation*}$

Die Anzahl der Quadrate in einem Quadrat mit den Seitenlängen $n\times{n}$ , mit $n\in\mathbb{N}$ ist

(2) $\begin{equation*} \begin{split} S_{n\times n} &= \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{{(n-k)}^2} \\ &= \displaystyle\sum\limits_{j=k}^{n}{k^2} \\ &= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{split} \end{equation*}$

In Abbildung 2 ist ein Beispiel mit $10\times 10$ Feldern dargestellt.

Abbildung 2

Hier erhalten wir jetzt nach obiger Formel insgesamt bereits $385$ Quadrate.

Die Entsprechung zum Quadrat in der dritten Dimension ist der Würfel. Man kann also genau so fragen, wie viele Würfel in einem Quader mit den Seitenlängen $m\times{n}\times{p}$ enthalten sind. Setzen wir $q:=\min{(m, n, p)}$ , so erhalten wir für die Summe der Würfel

(3) $\begin{equation*} S_{ m\times{n}\times{p}} = \sum\limits_{k=0}^{q}{(m-k)(n-k)(p-k)} \end{equation*}$

Ein Quader mit den Seitenlängen $6\times{4}\times{3}$ enthält somit

(4) $\begin{equation*} \begin{split} S_{6 \times 4 \times 3} &= \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{3}{(6-k)(4-k)(3-k)} \\ &= 6\cdot 4 \cdot 3 + 5\cdot 3 \cdot 2 + 4\cdot 2 \cdot 1 \\ &= 110 \end{split} \end{equation*}$

Würfel (s. Abbildung 3)

Abbildung 3

Die geschlossene Formel hierfür lautet

(5) $\begin{align*} S_{m\times{n}\times{p}} = \frac{p(p+1)\left(6mn-(2m+2n-p)(p-1)\right)}{12} \end{align*}$

Dabei haben wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit $p$ als den kleinsten Wert unter den drei Dimensionsparametern $m, n$ und $p$ angenommen. Das obige Rechenbeispiel wird jetzt zu

(6) $\begin{equation*} \begin{split} S_{6 \times 4 \times 3} &= \dfrac{3(3+1)\left(6\cdot 6\cdot 4- (2\cdot 6+2\cdot 4-3)(3-1)\right)}{12} \\ &= 110 \end{split} \end{equation*}$

Wenn alle Seitenlängen gleich sind, also $m=n=p$ gilt, vereinfacht sich die Formel auf

(7) $\begin{equation*} S_{n\times{n}\times{n}} = {\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2 \end{equation*}$

Wie man damit leicht berechnet, sind somit in einem 3-dimensionalen Quader mit den gleichen Seitenlängen $n=10$ insgesamt

(8) $\begin{equation*} \begin{split} S_{10\times{10}\times{10}} &= {\left(\dfrac{10(10+1)}{2}\right)}^2 \\ &= 3025 \end{split} \end{equation*}$

Würfel mit den Seitenlängen $1, 2, 3, \cdots, 10$ enthalten.

In $m$ Dimensionen gilt eine zu (1) und (3) analoge Formel. Nehmen wir einen $m$ -dimensionalen Quader mit den Seitenlängen $n_1\times{n_2}\times{n_3}\cdots\times{n_m}$ , wobei $n \in \mathbb{N}$ , $n_i \in \mathbb{N}, \,{1\le{i}\le{m}}$ , $p:=\min{(n_i\mid{1\le{i}\le{m}})}$ und $p\le{n}$ . Wir erhalten die folgende Formel

(9) $\begin{equation*} S_{n_1\times{n_2}\times{n_3}\cdots\times{n_m} } = \sum\limits_{k=0}^{p}{\prod_{i=1}^{m}{(n_i-k)}} \end{equation*}$

Sind auch hier wieder alle Seitenlängen gleich, also $n_i=n$ für $1\le{i}\le{m}$ und somit $p=n$ , so ergibt sich die Vereinfachung

(10) $\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle S_{n^{(m)}} &= \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{p}{ \displaystyle\prod\limits_{i=1}^{m}{(n_i-k)}} \\ &= \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{(n-k)^m} \\ &= \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{k^m} \end{split} \end{equation*}$

(s. entsprechende Summenformeln für $\sum_{k=1}^{n}{k^m}$ )

Zwei Beispiele auch hierzu:

Dimension $m=4$ , Seitenlängen $n=10$ :

(11) $\begin{equation*} \begin{split} S_{10^{(4)}} &= \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{10}{k^4} \\ &= \dfrac{10(10+1)(2\cdot 10 + 1)(3\cdot 10 (10+1)-1)}{30}\\ &= 25333 \end{split} \end{equation*}$

(s. Summenformel für $\sum_{k=1}^{n}{k^4}$ )

Dimension $m=10$ , Seitenlängen $n=3$ :

(12) $\begin{equation*} \begin{split} S_{3^{(10)}} &= \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{3}{k^{10}} \\ &=1^{10}+2^{10}+3^{10} \\ &= 60074 \end{split} \end{equation*}$

Wie viele Quadrate?

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