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Gronwall-VerfahrenÂ
Das Gronwall-Verfahren dient zur Summierung von konvergenten und divergenten unendlichen Reihen und wird definiert auf der Basis von konformen Abbildungen. Das Summationsverfahren arbeitet mit geeigneten analytischen Funktionen \(f\) und \(g\) von denen insbesondere verlangt wird, dass sie auf dem abgeschlossenen Einheitskreis \(E\) (mit Ausnahme des Punktes \(z = 1\)) holomorph sind. Von \(f\) wird darüber hinaus Injektivität und \(f(E) ⊂ E\) erwartet, zudem \(f(0) = 0\) und \(f(1) = 1\). Eine Voraussetzung an die Funktion \(g\) ist \(g(z) ≠0\) für alle \(z ∈ E\), außerdem hat \(g\) an der Stelle \(z = 1\) eine Singularität.
⇒ Gronwall-Verfahren
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Eine Theorie komplexwertiger Abelscher Limitierungsmethoden
Ausgehend von einer geeigneten Potenzreihe \[P(z)=\sum\limits_{{n=0}}^{\infty }{{{{p}_{n}}{{z}^{n}}}}\] definieren wir Limitierung durch ein Potenzreihenverfahren über die Zuordnung \[\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{s}_{n}}:=\underset{{z\to r}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{1}{{P(z)}}\sum\limits_{{n=0}}^{\infty }{{{{p}_{n}}{{s}_{n}}{{z}^{n}}}}.\] Gegenstand dieser Arbeit sind die Verfahren mit \(0 < r < {\infty }\), wobei wir für den Grenzübergang komplexe Werte von \(z\) zulassen. Es wird insbesondere der Zusammenhang zwischen der Limitierungseigenschaft und der geometrischen Form des den Grenzübergang beschreibenden komplexen Gebiets untersucht.
⇒ Eine Theorie komplexwertiger Abelscher Limitierungsmethoden
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