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Gronwall-Verfahren


Die nachfolgende Arbeit nimmt Bezug auf das von T. H. Gronwall definierte Verfahren zur Summierung von konvergenten und divergenten unendlichen Reihen auf Basis konformer Abbildungen. Das Summationsverfahren arbeitet mit geeigneten analytischen Funktionen (f) und (g) mit den folgenden Eigenschaften:

  • (f) ist holomorph auf (overline{E}backslash {1} ) und stetig in (1)

  • (f) ist schlicht in ({E}) und ({f(E)} subset {E} )

  • (f(0)=0) und (f(0)=1)

  • Die Umkehrfunktion von (f) ist holomorph auf (f(overline{E})backslash {1} )

  • Es gibt ein (lambda ge 1 ) und eine um den Nullpunkt entwickeltbare Potenzreihe (Phi ) mit einem nicht verschwindendem Konvergenzradius, so dass (Phi (0) > 0 ) und ( 1-w = {(1-z)^{lambda}}Phi (1-z) ) für (z=f(w) ) genügend nahe bei (1 )


Hierbei ist ( E := {z in mathbb{C} mid vert{z}vert <1} ).

  • ( g(w) = (1-w)^{-alpha} + gamma (w) ) mit ( alpha > 0 ) und (gamma) holomorph auf (E).

  • ( g(w) = sumlimits_{n = 0}^{infty}{{b_{n}}{w^{n}}}) mit (b_{n} neq 0) für alle (n in mathbb{N^0})

  • ( g(w) neq 0 ) für alle (w in {E})


Nun wird der Reihe ( sum limits_{nu = 0}^{infty}{u_{nu}} ) über die Identität
[ sumlimits_{nu = 0}^{infty}{{u_{nu}}{z^{nu}}} = frac{1}{g(w)} sumlimits_{n = 0}^{infty}{{b_{n}} {U_{n}}{w^{n}}} ] eine Folge ( left({U_n}right) ) zugeordnet.

Die Reihe ( sum limits_{nu = 0}^{infty}{u_{nu}} ) heißt ( (f,g) )-summierbar zur Summe (s), wenn (U_nrightarrow s) für (nrightarrow infty).

Entsprechend nennen wir eine Folge ( left({s_n}right) ) ( (f,g) )-limitierbar zum Grenzwert (s), wenn eine Identität [ (1-z)sumlimits_{nu = 0}^{infty}{{s_{nu}}{z^{nu}}} = frac{1}{g(w)} sumlimits_{n = 0}^{infty}{{b_{n}} {U_{n}}{w^{n}}} ]
besteht und (U_nrightarrow s) für (nrightarrow infty).

Wenn wir (f=text{id}), also (z=f(w)=w), und (g(w)=(1-w)^{-1}) setzen, also (b_n=1), so erhalten wir das Gronwall-Verfahren, das im Sinne der letzten Identität auf
[ (1-w)sumlimits_{nu = 0}^{infty}{{s_{nu}}{w^{nu}}} = (1-w) sumlimits_{n = 0}^{infty}{{U_{n}}{w^{n}}} ] hinausläuft. Wie man leicht erkennt, ist in diesem Falle (U_n equiv s_n). M. a. W., das Gronwall-Verfahren (left({textrm{id}, (1-w)^{-1}}right) ) ist konvergenzgleich, d.h., es summiert eine Reihe genbau dann, wenn diese Reihe konvergent ist.

Betrachten wir als weiteres Beispiel das Gronwall-Verfahren ((f,g)) mit (f=text{id}) (also (z=w)) und (g(w)=(1-w)^{-2}) und wenden es auf die Reihe [ sum limits_{n = 0}^{infty}{(-1)^{n}} = 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1pmcdots ] oder, was das selbe bedeutet, auf die Folge [ begin{align*} s_n &= left{begin{array}{ll} 1, &n=0 pmod{2} \ 0, &n=1 pmod{2} end{array} right. \ &= frac{1}{2}left( 1+(-1)^n right) end{align*} ] an. Natürlich ist diese Reihe im klassischen Sinne nicht konvergent, das sieht man ganz einfach daran, dass die Folge der Partialsummen zwei Häufungspunkte hat, genauer, dass sie unendlich oft die Werte (0) und (1) annimmt.

Nach dem Obigen haben wir jetzt [ sum limits_{n = 0}^{infty}{(-1)^{n}z^{n}} = {(1-w)^{2}} sumlimits_{n = 0}^{infty}{{({n+1})} {U_{n}}{w^{n}}} ] Wegen (z=f(w)=w) folgt daraus

[ begin{align*}sumlimits_{n = 0}^{infty}{{({n+1})} {U_{n}}{w^{n}}}
&= frac{1}{(1-w)^{2}} sum limits_{n = 0}^{infty}{(-1)^{n}w^{n}} \
&= frac{1}{(1-w)^{2}} cdot frac{1}{(1+w)} \
&= frac{1}{(1-w)} cdot frac{1}{(1-w^2)} \
&= left( 1+w^1+w^2+w^3+w^4+cdots right) cdot left( 1+w^2+w^4+w^6+w^8+cdots right) \
&= left( 1+w^1+2w^2+2w^3+3w^4+3w^5+4w^5+4w^6+4w^7+5w^8+5w^9+cdots right) \
&= sum limits_{n = 0}^{infty}{leftlfloor {frac{n+2}{2}} rightrfloor w^{n}}end{align*} ]


Durch Koeffizientenvergeich erhalten wir daraus
[ begin{align*} U_n &= frac{1}{n+1} leftlfloor {frac{n+2}{2}} rightrfloor \
&= frac{1}{2} left{ begin{array}{ll} frac{n+2}{n+1}, &n=0 pmod{2} \ 1, &n=1 pmod{2} end{array} right. end{align*} ]
und damit
[ lim_{nrightarrowinfty}{U_n} = frac{1}{2} ]
Im Ergebnis ist also die ( (f, g))-Summe von (sum limits_{n = 0}^{infty}{(-1)^{n}}) für (f=textrm{id}) (also (z=f(w)=w)) und (g(w)=(1-w)^{-2}) gleich (frac{1}{2}).

Formal:

[ left({textrm{id}, (1-w)^{-2}}right)-sum limits_{n = 0}^{infty}{(-1)^{n}}=frac{1}{2} ]


Dieses Gronwall-Verfahren summiert also auch divergente Reihen.

Für Näheres siehe PDF-Dokument im nachfolgenden Link:

⇒ Gronwall-Verfahren ...






Post date: 2016-04-10 23:45:19
Post date GMT: 2016-04-10 21:45:19
Post modified date: 2016-08-13 01:46:53
Post modified date GMT: 2016-08-12 23:46:53
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