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Wie viele Quadrate?


Die Anzahl der Quadrate in einem Rechteck mit den Seitenlängen ( mtimes{n} ), wobei ( m,ninmathbb{N} ) und ( nle{m} ) kann man leicht abzählen. In der nachfolgenden Grafik ist ein Beispiel mit (10times 6) Feldern dargestellt. Es gibt offensichtlich  (10times 6) Quadrate mit der Seitenlänge 1, (9times 5) Quadrate mit der Seitenlänge 2, (8times 4) Quadrate mit der Seitenlänge 3, usw. ... bis (5times 1) Quadrate mit der Seitenlänge 6. In der Grafik sind einige der so entstehenden Quadrate exemplarisch eingezeichnet (gestrichelt und in Farbe). Einheitsquadrate_10x6 Abbildung 1 In Summe sind es hier (175) Quadrate. Die allgemeine Formel für die Summe der Quadrate in einem Rechteck mit den Seitenlängen ( ntimes{m} ) mit und ( nle{m} ) lautet begin{align} begin{array}{l} S_{mtimes n} &= displaystylesumlimits_{k=0}^{n}{(m-k)(n-k)} \  &= dfrac{n(n+1)(3m-n+1)}{6} end{array} end{align} Die Anzahl der Quadrate in einem Quadrat mit den Seitenlängen ( ntimes{n} ), mit ( ninmathbb{N} ) ist begin{align} begin{array}{l}  S_{ntimes n} &=  displaystylesumlimits_{k=0}^{n}{{(n-k)}^2} \  &=  displaystylesumlimits_{j=k}^{n}{k^2} \  &= dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} end{array} end{align} In Abbildung 2 ist ein Beispiel mit (10times 10) Feldern dargestellt. Einheitsquadrate_10x10 Abbildung 2 Hier erhalten wir jetzt nach obiger Formel insgesamt bereits (385) Quadrate. Die Entsprechung zum Quadrat in der dritten Dimension ist der  Würfel. Man kann also genau so fragen, wie viele Würfel in einem Quader mit den Seitenlängen ( mtimes{n}times{p} ) enthalten sind. Setzen wir (q:=min{(m, n, p)}), so erhalten wir für die Summe der Würfel begin{equation} S_{ mtimes{n}times{p}} = sumlimits_{k=0}^{q}{(m-k)(n-k)(p-k)} label{ref1} end{equation} Ein Quader mit den Seitenlängen (6times{4}times{3} ) enthält somit begin{align} begin{array}{l}  S_{6 times 4 times 3} &=  displaystylesumlimits_{k=0}^{3}{(6-k)(4-k)(3-k)} \ &= 6cdot 4 cdot 3 + 5cdot 3 cdot 2 + 4cdot 2 cdot 1 \  &= 110 end{array} end{align} Würfel (s. Abbildung 3) Einheitswuerfel_6x4x3 Abbildung 3 Die geschlossene Formel hierfür lautet begin{align} S_{mtimes{n}times{p}} = frac{p(p+1)left(6mn-(2m+2n-p)(p-1)right)}{12} end{align} Dabei haben wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit (p) als den kleinsten Wert unter den drei Dimensionsparametern  (m, n) und  (p) angenommen. Das obige Rechenbeispiel wird jetzt zu begin{align}  begin{array}{l} S_{6 times 4 times 3} &= dfrac{3(3+1)left(6cdot 6cdot 4- (2cdot 6+2cdot 4-3)(3-1)right)}{12} \  &= 110  end{array} end{align} Wenn alle Seitenlängen gleich sind, also (m=n=p) gilt, vereinfacht sich die Formel auf begin{align} S_{ntimes{n}times{n}} = {left(frac{n(n+1)}{2}right)}^2 end{align} Wie man damit leicht berechnet, sind somit in einem 3-dimensionalen Quader mit den gleichen Seitenlängen (n=10) insgesamt begin{align} begin{array}{l} S_{10times{10}times{10}} &= {left(dfrac{10(10+1)}{2}right)}^2 \ &= 3025 end{array} end{align} Würfel mit den Seitenlängen (1, 2, 3, cdots, 10 ) enthalten. In (m) Dimensionen gilt eine zu (1) und (3) analoge Formel. Nehmen wir einen (m)-dimensionalen Quader mit den Seitenlängen ( n_1times{n_2}times{n_3}cdotstimes{n_m} ), wobei (n in mathbb{N}), (n_i in mathbb{N}, ,{1le{i}le{m}}), (p:=min{(n_imid{1le{i}le{m}})}) und (ple{n}). Wir erhalten die folgende Formel begin{align} S_{n_1times{n_2}times{n_3}cdotstimes{n_m} } = sumlimits_{k=0}^{p}{prod_{i=1}^{m}{(n_i-k)}} end{align} Sind auch hier wieder alle Seitenlängen gleich, also (n_i=n) für (1le{i}le{m}) und somit (p=n ), so ergibt sich die Vereinfachung begin{align} begin{array}{l}  displaystyle S_{n^{(m)}} &=  displaystylesumlimits_{k=0}^{p}{ displaystyleprodlimits_{i=1}^{m}{(n_i-k)}} \ &= displaystylesumlimits_{k=0}^{n}{(n-k)^m} \ &=  displaystylesumlimits_{k=0}^{n}{k^m} end{array} end{align} (s. entsprechende Summenformeln für (sum_{k=1}^{n}{k^m}) 1 ) Zwei Beispiele auch hierzu:

Dimension ( m=4), Seitenlängen (n=10):

begin{align} begin{array}{l} S_{10^{(4)}} &=   displaystylesumlimits_{k=0}^{10}{k^4} \  &= dfrac{10(10+1)(2cdot 10 + 1)(3cdot 10 (10+1)-1)}{30}\  &= 25333 end{array} end{align} (s. Summenformel für  (sum_{k=1}^{n}{k^4}) 2 )

Dimension ( m=10), Seitenlängen (n=3):

begin{align} begin{array}{l} S_{3^{(10)}} &=   displaystylesumlimits_{k=0}^{3}{k^{10}} \ &=1^{10}+2^{10}+3^{10} \   &= 60074 end{array} end{align}
Links:
  1. http://web.sumymus.de/mathematik/formeln/endliche- summen/endliche-summen1
  2. http://web.sumymus.de/mathematik/formeln/endliche- summen/endliche-summen1
Post date: 2016-05-31 23:25:40
Post date GMT: 2016-05-31 21:25:40

Post modified date: 2019-11-25 00:49:07
Post modified date GMT: 2019-11-24 23:49:07

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